XLIII OM - I - Zadanie 6

Funkcja $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ ma tę własność, że funkcja

\[<br />
g(x)=f(x)+\sin(f(x))<br />
\]

jest okresowa. Udowodnić, że funkcja $ f $ też jest okresowa.

Rozwiązanie

Zauważmy, że $ g(x)=h(f(x)) $, gdzie

\[<br />
h(u) = u + \sin u.<br />
\]

Wykażemy, że funkcja $ h $ jest ściśle rosnąca. Można oczywiście sprawdzić, że w każdym przedziale postaci $ ((2k- 1 )\pi; (2k + 1)\pi) $ (dla $ k $ całkowitych) jej pochodna jest dodatnia i wobec tego funkcja $ h $ jest rosnąca w każdym przedziale domkniętym $ \langle (2k-1)\pi;(2k+1)\pi \rangle $, więc i w całym zbiorze $ \mathbb{R} $. Można też, bardziej elementarnie, skorzystać z nierówności

\[<br />
|\sin t| < t \quad \textrm{dla} \quad  t > 0<br />
\]

i wywnioskować z niej, że jeśli $ u > v $, to

\[<br />
| \sin u - \sin v| = \left|2 \cos \frac{u+v}{2} \sin \frac{u-v}{2} \right|\leq 2 \left|\sin \frac{u-v}{2}\right| < u-v,<br />
\]

skąd

\[<br />
h(u) - h(v) = u - v + \sin u - \sin v \geq u - v - |\sin u - \sin v| > 0.<br />
\]

Zatem istotnie $ h $ jest funkcją ściśle rosnącą.

Niech $ T > O $ będzie okresem funkcji $ g $:

\[<br />
g(x + T) = g(x) \quad \textrm{dla wszystkich} \ x \in \mathbb{R}.<br />
\]

Równoważnie:

\[<br />
h(f(x + T)) = h(f(x)) \quad \textrm{dla wszystkich} \ x \in \mathbb{R}.<br />
\]

Funkcja $ h $, jako ściśle monotoniczna, jest równowartościowa, a więc równość $ h(u)= h(v) $ pociąga równość $ u = v $. Stąd wniosek, że

\[<br />
f(x + T) = f(x) \quad \textrm{dla wszystkich} \ x \in \mathbb{R}.<br />
\]

To pokazuje, że liczba $ T $ jest także okresem funkcji $ f $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź