XLIII OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie dany jest wielokąt wypukły $ Q $ i prosta $ l $.

(a) Wykazać, że istnieje dokładnie jeden wielokąt $ r $ symetryczny względem $ l $ i taki, że dla każdej prostej $ s $ prostopadłej do $ l $ części wspólne $ s \cap R $ oraz $ s \cap Q $ są odcinkami równej długości, albo zbiorami jednopunktowymi, albo zbiorami pustymi.

(b) Dowieść że wielokąt $ R $ jest wypukły, ma pole równe polu $ Q $ oraz średnica $ R $ jest nie większa od średnicy $ Q $.

Uwaga: Średnicą zbioru $ X $ nazywamy kres górny odległości dowolnych dwóch punktów zbioru $ X $.

Rozwiązanie

(a) Przyjmijmy prostą $ l $ za oś z kartezjańskiego układu współrzędnych i niech przedział $ \langle a;\ b \rangle $ tej osi będzie rzutem prostokątnym wielokąta $ Q $. Niech $ x_0,x_1,\ldots,x_n $ będą odciętymi wszystkich wierzchołków wielokąta $ Q $, ponumerowanymi tak, że $ a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b $, oraz niech $ s_i $ będzie prostą o równaniu $ x =x_i $. Dla każdego numeru $ i \in \{1,\ldots, n - 1\} $ część wspólna $ s_i \cap Q $ jest odcinkiem o końcach $ A_i $, $ B_i $ leżących na brzegu $ Q $; co najmniej jeden z nich jest wierzchołkiem $ Q $. Zbiór $ s_0 \cap Q $ jest odcinkiem $ A_0 B_0 $ lub zbiorem jednopunktowym, który też będziemy uważali za zdegenerowaną postać odcinka (o pokrywających się końcach $ A_0 $, $ B_0 $); podobnie zbiór $ s_n \cap Q = A_nB_n $. Ustalmy oznaczenia tak, by $ A_i = (x_i,u_i) $, $ B_i = (x_i,v_i) $, $ u_i \leq v_i $. Obiegając brzeg $ Q $ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara napotykamy rozważane punkty w porządku: $ A_0,A_1,\ldots,A_n, B_n,B_{n-1},\ldots,B_0 $; są wśród nich wszystkie wierzchołki wielokąta $ Q $.

Oznaczmy połowę różnicy $ v_i-u_i $ przez $ h_i $. Weźmy pod uwagę punkty $ C_i = (x_i,-h_i) $, $ D_i =(x_i, h_i) $ $ (i = 0,1,\ldots,n $) oraz zdefiniujmy $ R $ jako wielokąt ograniczony łamaną zamkniętą $ C_0 C_1 \ldots C_nD_nD_{n-1} \ldots D_0 $.

Łamana $ D_0 D_1 \ldots D_n $ jest obrazem łamanej $ C_0 C_1 \ldots C_n $ w symetrii osiowej względem prostej $ l $. Prosta ta jest więc osią symetrii wielokąta $ R $, (rysunek 3). Łamana $ A_0A_1 \ldots A_n $ jest wykresem wypukłej funkcji $ f $, a łamana $ B_0 B_1 \ldots B_n $ jest wykresem wklęsłej funkcji $ g $; dziedziną obu funkcji jest przedział $ \langle a;\ b \rangle $.

(Funkcja {\it wypukła} - to taka, że dla dowolnej pary punktów $ M $, $ N $ należących do jej wykresu fragment wykresu zawarty między $ M $ i $ N $ leży poniżej odcinka $ MN $ bądź się z tym odcinkiem pokrywa; definicję funkcji {\it wklęsłej} otrzymujemy zastępując słowo ,,poniżej'' słowem ,,powyżej''.)
om43_1r_img_3.jpg
Oczywiście

\[<br />
f(x_i) = u_i, \quad g(x_i)=v_i \quad \textrm{dla} \quad i = 0,1,\ldots,n.<br />
\]

Łamana $ D_0 D_1 \ldots D_n $ jest wykresem pewnej funkcji $ h $, o wartościach nieujemnych, zaś symetryczna do niej (względem prostej $ l $) łamana $ C_0 C_1 \ldots C_n $ jest wykresem funkcji $ -h $.

Ustalmy numer $ i \in \{1,\ldots, n\} $. W przedziale $ \langle x_{i-1};\ x_i \rangle $ każda z funkcji $ f $, $ g $, $ h $ jest liniowa. Na końcach tego przedziału spełnione są równości

\[<br />
h(x_i) = \frac{v_i-u_i}{2} = \frac{g(x_i)-f(x_i)}{2}, \quad<br />
h(x_{i-1}) = \frac{g(x_{i-1})-f(x_{i-1})}{2}.<br />
\]

Stąd (wobec liniowości) równość

\[<br />
(1) \qquad h(x) = \frac{g(x)-f(x)}{2}<br />
\]

zachodzi dla wszystkich $ x \in \langle x_{i-1};\ x_i \rangle $. Wobec dowolności wyboru $ i $, równość (1) zachodzi dla wszystkich $ x \in \langle a;\ b \rangle $.

Niech $ s $ będzie dowolną prostą prostopadłą do $ l $ (,,pionową''). Jeśli przecina ona którykolwiek z wielokątów $ Q $ i $ R $, to przecina także i drugi. Części wspólne $ s \cap Q $ oraz $ s \cap R $ są więc jednocześnie zbiorami pustymi lub niepustymi. Są one niepuste wtedy i tylko wtedy, gdy prosta $ s $ przechodzi przez
punkt $ (x,0) $ o odciętej $ x \in \langle a;\ b \rangle $. Zbiór $ s \cap Q $ jest wówczas odcinkiem o końcach $ (x,f(x)) $, $ (x, g(x)) $, natomiast zbiór $ s \cap R $ jest odcinkiem o końcach $ (x, -h(x)) $, $ (x, h(x)) $. Z uwagi na równość (1) odcinki te mają równą długość.

Dla $ x =a $ zbiór $ s \cap Q $ jest odcinkiem $ A_0 B_0 $, a zbiór $ s \cap R $ jest odcinkiem $ C_0D_0 $. Gdy punkt $ A_0 $ pokrywa się z $ B_0 $, to także punkt $ C_0 $ pokrywa się z $ D_0 $ (i na odwrót); odcinki $ A_0B_0 $ i $ C_0D_0 $ degenerują się wówczas do punktów (czyli zbiory $ s \cap Q $, $ s \cap R $ są jednopunktowe). Analogiczna sytuacja może mieć miejsce dla $ x = b $.

Dla $ x \in (a;b) $ zbiory $ s \cap Q $ oraz $ s \cap R $ są odcinkami niezdegenerowanymi, o jednakowej długości - jak stwierdziliśmy powyżej.

Tak więc wielokąt $ R $ spełnia warunki postawione w części (a) zadania. Jest to jedyny wielokąt o tej własności, bowiem warunki (a) określają zbiór $ R $ jednoznacznie jako sumę rodziny odcinków prostopadłych do prostej $ l $, połowionych przez nią i mających długości równe długościom odpowiednich przekrojów ,,pionowych'' wielokąta $ Q $ (czyli odpowiednim wartościom różnicy
$ g(x)-f(x) $).

(b) Dla każdego numeru $ i \in \{1,\ldots, n\} $ czworokąt $ C_{i-1}C_iD_iD_{i-1} $ jest trapezem równoramiennym o podstawach $ C_{i-1} D_{i-1} \parallel C_iD_i $; oznaczmy ten trapez przez $ T_i $. Także czworokąt $ A_{i-1} A_i B_i B_{i-1} $ jest trapezem (na ogół nie równoramiennym) o podstawach $ A_{i-1} B_{i-1} \parallel A_i B_i $; oznaczmy ten trapez przez $ S_i $. (Dla $ i = 1 $ oraz $ i = n $ trapezy te mogą redukować się do trójkątów.)

Odcinek o końcach $ (x_{i-1}, 0) $ i $ (x_i,0) $ jest wysokością zarówno trapezu $ T_i $, jak i trapezu $ S_i $. Także odpowiednie podstawy tych trapezów są odcinkami jednakowej długości:

\[<br />
|C_iD_i| = 2h_i = v_i-u_i = |A_i B_i|; \quad \textrm{podobnie} \quad<br />
|C_{i-1} D_{i-1}| = |A_{i-1} B_{i-1}|.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
\textrm{pole}(T_i) = \textrm{pole}(S_i) \quad \textrm{dla} \quad i = 1,\ldots, n.<br />
\]

Trapezy $ S_1, \ldots ,S_n $ mają wnętrza parami rozłączne i wypełniają cały wielokąt $ Q $. Podobnie trapezy $ T_1,\ldots,T_n $ mają wnętrza parami rozłączne i wypełniają cały wielokąt $ R $.

Zatem pola wielokątów $ R $ i $ Q $ są równe.

Weźmy pod uwagę zbiór

\[<br />
U=\{ (x,y) \colon a \leq x \leq b, \ y \leq h(x) \}.<br />
\]

Wykażemy, że jest on wypukły.

Niech $ E $ i $ F $ będą dowolnymi punktami zbioru $ U $; oznaczmy ich odcięte przez $ x_E $ i $ x_F $. Funkcja $ h $, jako różnica funkcji wklęsłej i funkcji wypukłej (wzór (1)), jest funkcją wklęsłą. Zatem żaden punkt odcinka łączącego punkt $ (x_E, h(x_E)) $ z punktem $ (x_F, h(x_F)) $ nie leży powyżej wykresu funkcji $ h $ (rysunek 4). Tym bardziej żaden punkt odcinka $ EF $ nie leży powyżej wykresu funkcji $ h $. To znaczy, że odcinek $ EF $ jest zawarty w zbiorze $ U $. Wobec dowolności wyboru punktów $ E,F \in U $, zbiór $ U $ jest wypukły.
om43_1r_img_4.jpg
Także zbiór

\[<br />
V = \{(x,y) \colon a \leq x \leq b,\ y \geq - h(x)\},<br />
\]

będący symetrycznym obrazem zbioru $ U $ (w symetrii osiowej względem $ l $), jest wypukły.

Wielokąt $ R $ jest częścią wspólną zbiorów wypukłych $ U $ i $ V $; jest więc zbiorem wypukłym. Średnicą wielokąta $ R $ jest długość pewnej jego przekątnej lub boku, czyli długość pewnego odcinka o końcach należących do zbioru $ \{C_0,\ldots,C_n, D_n,\ldots,D_0\} $.

Jeśli $ i $, $ j $ są różnymi numerami, to czworokąt $ C_iC_jD_jD_i $ jest trapezem równoramiennym (o podstawach $ C_iD_i || C_jD_j $). Przekątna takiego trapezu nie może być krótsza niż ramię: $ |C_iD_j| \geq |C_iC_j|=|D_iD_j| $ (równość może tu zajść tylko w przypadku, gdy jeden z numerów $ i $, $ j $ równa się $ 0 $ lub $ n $, a trapez redukuje się do trójkąta).

Stąd wniosek, że średnicą wielokąta $ R $ jest długość pewnego odcinka postaci $ C_kD_m $.

Z równości

\[<br />
|C_kD_m|^2 = (x_k-x_m)^2 +(h_k + h_m)^2 = (x_k-x_m)^2 + \frac{1}{4} (v_k-u_k + v_m-u_m)^2,<br />
\]
\[<br />
|A_kB_m|^2 = (x_k-x_m)^2 + (u_k-v_m)^2, \quad |A_m B_k|^2 = (x_k-x_m)^2 + (u_m-v_k)^2<br />
\]

otrzymujemy nierówność

\[<br />
\begin{split}<br />
|A_k B_m|^2 + & |A_mB_k|^2-2|C_kD_m|^2 = \\<br />
= & (u_k - v_m)^2 + (u_m - v_k)^2 - \frac{1}{2}(u_k + u_m - v_k - v_m)^2 =\\<br />
= & \frac{1}{2}(u_k - u_m + v_k - v_m )^2 \geq 0,<br />
\end{split}<br />
\]

z której wynika, że co najmniej jeden z odcinków $ A_kB_m $, $ A_mB_k $ ma długość nie mniejszą niż odcinek $ C_kD_m $. Wobec tego średnica wielokąta $ Q $ jest nie mniejsza niż średnica wielokąta $ R $.

Wykazaliśmy więc, że wielokąt $ R $ ma wszystkie własności postulowane w części (b).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź