XLIII OM - I - Zadanie 8

W czworościanie $ ABCD $ sumy długości przeciwległych krawędzi wynoszą $ 1 $. Okręgi wpisane w ściany $ BCD $, $ CDA $, $ DAB $ i $ ABC $ mają promienie $ r_A $, $ r_B $, $ r_C $, $ r_D $. Udowodnić, że

\[<br />
r_A + r_B + r_C + r_D \leq \frac{1}{3}\sqrt{3}<br />
\]

oraz równość ma miejsce dla czworościanu foremnego.

Rozwiązanie

Skorzystamy z następującego faktu:

Jeśli trójkąt o bokach długości $ a $, $ b $, $ c $ jest opisany na kole o promieniu $ r $, to

\[<br />
(1) \qquad a + b + c \geq 6 \sqrt{3}r,<br />
\]

przy czym równość zachodzi tylko dla trójkąta równobocznego.

(Innymi słowy: spośród wszystkich trójkątów opisanych na danym kole, najkrótszy obwód ma trójkąt foremny; patrz: Uwaga.)

Dla trójkątów $ BCD $, $ CDA $, $ DAB $ i $ ABC $ nierówność (1) przybiera odpowiednio postać

\[<br />
(2) \qquad<br />
\begin{split}<br />
& |BC| + |CD| + |DB| > 6 \sqrt{3} r_A,\\<br />
& |CD| + |DA| + |AC| > 6 \sqrt{3} r_B,\\<br />
& |DA| + |AB| + |BD| > 6 \sqrt{3} r_C,\\<br />
& |AB| + |BC| + |CA| > 6 \sqrt{3} r_D.<br />
\end{split}<br />
\]

Z założenia mamy

\[<br />
(3) \qquad |AB| + |CD| = |AC| + |BD| = |AD| + |BC| =1.<br />
\]

Dodając stronami nierówności (2) i uwzględniając związki (3) otrzymujemy

\[<br />
2(1 + 1 + 1) \geq 6 \sqrt{3} (r_A + r_B + r_C + r_D),<br />
\]

czyli

\[<br />
r_A + r_B + r_C + r_D \leq \frac{1}{3} \sqrt{3}.<br />
\]

Równość zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie cztery nierówności (2) stają się równościami, czyli gdy trójkąty $ BCD $, $ CDA $, $ DAB $ i $ ABC $ są równoboczne - innymi słowy, gdy czworościan $ ABCD $ jest foremny.

Uwaga: Nierówność (1) można uzasadnić opierając się na dwóch wzorach wyrażających pole trójkąta :

\[<br />
S = pr,\quad \textrm{gdzie} \quad  p = \frac{1}{2}(a + b + c)<br />
\]

oraz

\[<br />
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}<br />
\]

({\it wzór Herona}). Stąd

\[<br />
pr^2 = (p-a)(p-b)(p-c).<br />
\]

Średnia arytmetyczna liczb $ p-a $, $ p-b $, $ p-c $ wynosi

\[<br />
\frac{1}{3}((p-a) + (p-b) + (p-c)) = \frac{1}{3} p<br />
\]

i jest nie mniejsza niż średnia geometryczna tych liczb:

\[<br />
\frac{1}{3}p \geq ((p-a)(p-b)(p-c))^{1/3}.<br />
\]

Podnosimy tę nierówność stronami do trzeciej potęgi i uwzględniając wcześniejszy związek otrzymujemy

\[<br />
\left(\frac{1}{3}p\right)^3 \geq (p-a)(p-b)(p-c) = pr^2,<br />
\]

czyli $ p^2 \geq 27r^2 $, skąd $ 2p \geq 6 \sqrt{3} r $. Jest to właśnie nierówność (1). Równość zachodzi tylko wtedy, gdy ,,uśredniane'' liczby $ p - a $, $ p - b $, $ p-c $ są równe, czyli tylko dla $ a = b = c $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź