XLIII OM - I - Zadanie 12

Na płaszczyźnie narysowane cztery proste tak, że żadne dwie z nich nie są równoległe i żadne trzy nie mają punktu wspóinego. Proste te wyznaczają cztery trójkąty. Udowodnić, że ortocentra tych trójkątów leżą na jednej prostej.

Uwaga: Ortocentrum trójkąta to punkt przecięcia jego wysokości.

Rozwiązanie

Oznaczmy cztery dane proste przez $ k $, $ l $, $ m $, $ n $, a ich punkty przecięcia - przez $ O $, $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $, $ T $, tak, by

\[<br />
k \cap l = \{O\}, \quad k \cap n = \{P\}, \quad m \cap n = \{Q\},<br />
\]
\[<br />
l \cap m = \{R\}, \quad k \cap m = \{S\}, \quad l \cap n = \{T\}.<br />
\]

Żadne dwa z tych punktów nie pokrywają się; gwarantują to warunki zadania.

Rysunek 5 przedstawia jedną z możliwych konfiguracji; jednak dla dalszego ciągu rozumowania nie ma żadnego znaczenia, czy trzy punkty przecięcia dowolnej z tych prostych z pozostałymi prostymi leżą na wybranej prostej w takim właśnie porządku, jak na rysunku, czy w jakimkolwiek innym.

Ortocentra czterech rozważanych trójkątów

\[<br />
\Delta OPT, \quad \Delta ORS, \quad \Delta QRT, \quad \Delta QPS<br />
\]

oznaczmy odpowiednio przez $ E $, $ F $, $ G $, $ H $. Prosta $ OE $ (patrz: Uwaga 1) zawiera wysokość trójkąta $ OPT $, jest więc prostopadła do prostej $ PT $, identycznej z prostą $ QP $.
om43_1r_img_6.jpg
Podobnie uzasadniamy każdy z następujących ośmiu związków prostopadłości:

\[<br />
(1) \qquad \quad OE\ \bot\ QP, \quad PE\ \bot\ OR,<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad \quad OF\ \bot\ QR, \quad RF\ \bot\ OP,<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad \quad QG\ \bot\ OR, \quad RG\ \bot\ QP,<br />
\]
\[<br />
(4) \qquad \quad QH\ \bot\ OP, \quad PH\ \bot\ QR.<br />
\]

Tezę zadania można uzyskać stosując rachunek na wektorach. Ze związków (1) wynika, że następujące iloczyny skalarne są równe zeru:

\[<br />
\overrightarrow{OE} \bullet \overrightarrow{QP} = 0, \quad<br />
\overrightarrow{PE} \bullet \overrightarrow{OR} = 0.<br />
\]

A ponieważ $ \overrightarrow{QP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ} $, $ \overrightarrow{PE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OP} $, możemy te równości przepisać w postaci

\[<br />
(5) \qquad<br />
\overrightarrow{OE} \bullet (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ}) = 0, \quad<br />
(\overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OP}) \bullet \overrightarrow{OR} = 0.<br />
\]

Zależności (2), (3), (4) zapisujemy podobnie:

\[<br />
\begin{split}<br />
(6) \qquad \overrightarrow{OF} \bullet (\overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ}) = 0, \quad &<br />
(\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OR}) \bullet \overrightarrow{OP} = 0.\\<br />
(7) \qquad (\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OQ}) \bullet \overrightarrow{OR} = 0, \quad &<br />
(\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OR}) \bullet (\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}) = 0. \\<br />
(8) \qquad (\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OQ}) \bullet \overrightarrow{OP} = 0, \quad &<br />
(\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OP}) \bullet(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}) = 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Dodajemy stronami dwie równości figurujące w (5):

\[<br />
\overrightarrow{OE} \bullet \overrightarrow{OP} -<br />
\overrightarrow{OE} \bullet \overrightarrow{OQ} +<br />
\overrightarrow{OE} \bullet \overrightarrow{OR} -<br />
\overrightarrow{OP} \bullet \overrightarrow{OR} = 0<br />
\]

i przekształcalny otrzymany związek do postaci

\[<br />
(9) \qquad<br />
\overrightarrow{OE} \bullet (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR}) =<br />
\overrightarrow{OP} \bullet \overrightarrow{OR}.<br />
\]

Analogicznie, przez dodanie stronami obu równości w każdej z par (6), (7), (8) dostajemy - odpowiednio - zależności

\[<br />
(10) \qquad<br />
\overrightarrow{OF} \bullet (\overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OP}) =<br />
\overrightarrow{OP} \bullet \overrightarrow{OR},<br />
\]
\[<br />
(11) \qquad<br />
\overrightarrow{OG} \bullet (\overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ}) =<br />
\overrightarrow{OP} \bullet \overrightarrow{OR},<br />
\]
\[<br />
(12) \qquad<br />
\overrightarrow{OH} \bullet (\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ}) =<br />
\overrightarrow{OP} \bullet \overrightarrow{OR}.<br />
\]

Oznaczmy wektor $ \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ} +\overrightarrow{OR} $ przez $ \overrightarrow{\mathbf{w}} $. W myśl równości (9) - (12),

\[<br />
(13) \qquad \overrightarrow{OE} \bullet \overrightarrow{\mathbf{w}} =<br />
\overrightarrow{OF} \bullet \overrightarrow{\mathbf{w}} =<br />
\overrightarrow{OG} \bullet \overrightarrow{\mathbf{w}} =<br />
\overrightarrow{OH} \bullet \overrightarrow{\mathbf{w}} \quad<br />
( = \overrightarrow{OP} \bullet \overrightarrow{OR}).<br />
\]

Odejmując dwa pierwsze iloczyny dostajemy równość $ 0 = (\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}) \bullet \overrightarrow{\mathbf{w}} =<br />
\overrightarrow{EF} \bullet \overrightarrow{\mathbf{w}} $, która oznacza, że wektory $ \overrightarrow{EF} $ i $ \overrightarrow{\mathbf{w}} $ są prostopadłe. Analogicznie, rozważając różnice dowolnych dwóch iloczynów figurujących w (13) stwierdzamy, że wektor $ \overrightarrow{\mathbf{w}} $ jest prostopadły do każdego z wektorów, którego końcami są dowolne dwa spośród punktów $ E $, $ F $, $ G $, $ H $.

Zauważmy, że $ \overrightarrow{\mathbf{w}} = \overrightarrow{OP} -\overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{QR} $ nie jest wektorem zerowym; równość $ \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{\mathbf{0}} $ oznaczałaby bowiem, że czworokąt $ OPQR $ jest równoległobokiem, wbrew założeniu, że proste $ OP $ i $ QR $ - czyli $ k $ i $ m $ - nie są równolegle. Można wiec mówić o prostej prostopadłej do $ \overrightarrow{\mathbf{w}} $, przechodzącej przez ustalony punkt; niech tym punktem będzie na przykład $ E $. Skoro każdy z wektorów $ \overrightarrow{EF} $, $ \overrightarrow{EG} $, $ \overrightarrow{EH} $ jest prostopadły do $ \overrightarrow{\mathbf{w}} $, zatem punkty $ F $, $ G $, $ H $ leżą na określonej przed chwilą prostej. Dowód jest zakończony.

Uwaga 1. Gdy któreś z rozważanych prostych przecinają się pod kątem prostym, wówczas ortocentrum odpowiedniego trójkąta pokrywa się z jednym wierzchołkiem; na przykład punkt $ E $ może być identyczny z $ O $. Nie można więc mówić o {\it prostej} $ OE $; niemniej, równość $ \overrightarrow{OE} \bullet \overrightarrow{QP} = 0 $ jest i w tym przypadku sensowna (i prawdziwa), bo $ \overrightarrow{OE} $ jest wektorem zerowym. Podobnie każde z oznaczeń prostych, użyte w zależnościach (1) - (4), może stracić sens; ale odpowiednie związki (5) - (8) są słuszne w każdym przypadku.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź