XLIII OM - II - Zadanie 1

Każdy wierzchołek pewnego wielokąta ma obie współrzędne całkowite; długość każdego boku tego wielokąta jest liczbą naturalną. Udowodnić, że obwód wielokąta jest liczbą parzystą.

Rozwiązanie

Niech $ A_1,\ldots,A_n $ będą kolejnymi wierzchołkami wielokąta; wygodnie nam będzie oznaczać wierzchołek $ A_n $ także przez $ A_0 $. Brzeg wielokąta tworzy łamaną zamkniętą, zatem

\[<br />
(1) \qquad \sum_{i=1}^n \overrightarrow{A_{i-1}A_i} = \overrightarrow{\mathbf{0}}.<br />
\]

Oznaczmy współrzędne $ i $-tego wektora powyższej sumy przez $ u_i $, $ v_i $, a jego długość - przez $ w_i $:

\[<br />
\overrightarrow{A_{i-1}A_i} = [u_i,v_i], \quad |A_{i-1} A_i| = w_i \quad \textrm{dla} \quad i =1,2,\ldots,n.<br />
\]

Liczby $ u_i $, $ v_i $, $ w_i $ są z założenia całkowite. Oczywiście $ w_i^2 = u_i^2<br />
+ v_i^2 $.

W rozwiązaniu będziemy korzystali z prostego spostrzeżenia, że kwadrat dowolnej liczby całkowitej $ m $ jest liczbą tej samej parzystości, co $ m $ (bowiem $ m^2 = m + m(m- 1) $, a iloczyn $ m(m- 1) $ jest liczbą parzystą). Stąd wniosek, że dla dowolnych liczb całkowitych $ m_1 ,m_2,\ldots, m_n $ mamy równoważność:

\[<br />
(2) \qquad \sum_{i=1}^n m_i \ \textrm{jest liczbą parzystą}\quad \Longleftrightarrow \quad    \sum_{i=1}^n m_i^2 \ \textrm{jest liczbą parzystą}.<br />
\]

(Istotnie: na mocy poprzedniego spostrzeżenia, obie te sumy mają tyle samo składników nieparzystych.)

Równość (1) jest równoważna temu, że

\[<br />
\sum_{i=1}^n u_i = 0 \quad \textrm{oraz} \quad \sum_{i=1}^n v_i = 0.<br />
\]

Przyjmując w (2) $ m_i= u_i $, a następnie $ m_i = v_i $, stwierdzamy, że sumy
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n u_i^2 $ oraz $ \displaystyle \sum_{i=1}^n v_i^2 $ są liczbami parzystymi. W takim razie również suma

\[<br />
\sum_{i=1}^n w_i^2 = \sum_{i=1}^n u_i^2 + \sum_{i=1}^n v_i^2<br />
\]

jest liczbą parzystą. Wreszcie, stosując równoważność (2) do liczb $ m_i =  w_i $ wnosimy, że suma $ \displaystyle \sum_{i=1}^n v_i^2 $ jest także liczbą parzystą. A ta suma — to właśnie obwód wielokąta.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź