XLIII OM - II - Zadanie 2

Dana jest liczba naturalna $ n \geq 2 $. Niech $ a_1, a_2, \ldots , a_n $, $ b_1, b_2, \ldots , b_n $ będą liczbami rzeczywistymi. Dowieść, że następujące warunki są równoważne:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n $

zachodzi nierówność

\[<br />
\sum_{i=1}^n a_i x_i \leq \sum_{i=1}^n b_i x_i.<br />
\]

Dla każdej liczby naturalnej $ k\in \{1,2,\ldots, n-1\} $ zachodzi nierówność

\[<br />
\sum_{i=1}^k a_i \geq \sum_{i=1}^k b_i, \quad \text{ a ponadto} \quad \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i.<br />
\]

Rozwiązanie

Dowód implikacji (a) $ \Longrightarrow $ (b). W nierówności założonej w warunku (a) podstawiamy $ x_1 = x_2 = \ldots = x_n = 1 $ i otrzymujemy

\[<br />
\sum_{i=1}^n a_i \leq \sum_{i=1}^n b_i;<br />
\]

natomiast podstawiając $ x_1 = x_2 = \ldots = x_n = -1 $ otrzymujemy

\[<br />
\sum_{i=1}^n a_i \geq \sum_{i=1}^n b_i.<br />
\]

Stąd

\[<br />
\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i.<br />
\]

Ustalmy liczbę $ k \in \{1,2,\ldots,n- 1\} $ i przyjmijmy $ x_1 = \ldots = x_k = -1 $ oraz $ x_{k+1} = \ldots = x_n = 0 $; dostajemy nierówność

\[<br />
\sum_{i=1}^k a_i \geq \sum_{i=1}^k b_i.<br />
\]

Uzyskaliśmy wszystkie związki postulowane w warunku (b).

Dowód implikacji (b) $ \Longrightarrow $ (a). Teraz zakładamy, że dane liczby $ a_i $, $ b_i $ spełniają układ nierówności oraz równość podane w warunku (b). Oznaczmy:

\[<br />
r_i = b_i - a_i \quad \textrm{dla} \quad i=1,2,\ldots,n;<br />
\]
\[<br />
s_k = \sum_{i=1}^k r_i \quad \textrm{dla} \quad k=1,2,\ldots,n;<br />
\]

założenia przybierają postać

\[<br />
s_k \leq 0 \quad \textrm{dla} \quad k=1,2,\ldots,n-1 \quad \textrm{oraz} \quad s_n = 0.<br />
\]

Oczywiście

\[<br />
r_1 = s_1, \quad r_k - r_{k-1} = s_k \quad \textrm{dla} \quad k=2,3,\ldots,n.<br />
\]

Weźmy dowolne liczby $ x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n $. Przekształcamy różnicę między prawą a lewą stroną nierówności, którą mamy udowodnić (stosujemy tzw. {\it przekształcenie Abela}):

\[<br />
\begin{split}<br />
\sum_{i=1}^n b_i x_i - & \sum_{i=1}^n a_i x_i = \sum_{i=1}^n r_i x_i =<br />
r_1x_1 + r_2x_2 + \ldots + r_{n-1}x_{n-1} + r_nx_n = \\<br />
& = s_1x_1 + (s_2-s_1)x_2 + \ldots + (s_{n-1}-s_{n-2})x_{n-1} + (s_n-s_{n-1})x_n=\\<br />
& = s_1(x_1-x_2) + s_2(x_2-x_3) + \ldots + s_{n-1}(x_{n-1}-x_n)+s_nx_n.<br />
\end{split}<br />
\]

Ostatni składnik otrzymanej sumy równa się zeru (bo $ s_n=0 $). Wszystkie pozostałe składniki są nieujemne (bo $ s_k \leq 0 $, $ x_k - x_{k-1} \leq 0 $). Wobec tego przekształcana różnica jest nieujemna; nierówność podana w warunku (a) została udowodniona.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź