LIX OM - I -Zadanie 2

Dany jest kąt wypukły o wierzchołku $ P $ i punkt $ A $ leżący wewnątrz tego kąta. Punkty $ X $ i $ Y $ leżą na różnych
ramionach tego kąta, przy czym $ PX = PY $ oraz wartość sumy $ AX +AY $ jest najmniejsza. Wykazać, że
$ \measuredangle XAP = \measuredangle YAP $.

Rozwiązanie

Niech $ B $ będzie takim punktem płaszczyzny, dla którego $ PB = PA $ oraz
$ \measuredangle BPA = \measuredangle YPX $ (rys. 1).

om59_1r_img_1.jpg

Mamy wówczas $ \measuredangle BPY = \measuredangle APX $, zatem trójkąty $ BPY $ i $ APX $ są przystające
(cecha bok-kąt-bok). Stąd otrzymujemy równość $ BY = AX $. Wartość wyrażenia $ AX + AY = BY + AY $
jest najmniejsza, więc stosując nierówność trójkąta dochodzimy do wniosku, że punkt $ Y $ leży na odcinku $ AB $.
Ponieważ zaś trójkąt $ BPA $ jest równoramienny, uzyskujemy

\[<br />
\measuredangle YAP = \measuredangle BAP = \measuredangle ABP = \measuredangle YBP = \measuredangle XAP,<br />
\]

co kończy rozwiązanie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź