XLIII OM - II - Zadanie 4

Okręgi $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $ są styczne zewnętrznie: $ k_1 $ do $ k_2 $ w punkcie $ A $, $ k_2 $ do $ k_3 $ w punkcie $ B $, $ k_3 $ do $ k_4 $ w punkcie $ C $, $ k_4 $ do $ k_1 $ w punkcie $ D $. Proste $ AB $ i $ CD $ przecinają się w punkcie $ S $. Przez punkt $ S $ poprowadzono prostą $ p $ styczną do $ k_4 $ w punkcie $ F $. Wykazać, że $ |SE|=|SF| $.

Rozwiązanie

Niech $ O_i $ będzie środkiem okręgu $ k_i $, a $ r_i $ - długością jego promienia ($ i = 1,2,3,4 $). Tak więc

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{split}<br />
|O_1O_2|= r_1 +r_2, \quad |O_2O_3| = r_2+r_3,\\<br />
|O_3O_4|= r_3 +r_4, \quad |O_4O_1| = r_4+r_1.<br />
\end{split}<br />
\]

om43_2r_img_8.jpg
Wykażemy, że
\begin{center}
(2) \qquad łamana zamknięta $ O_1O_2O_3O_4O_1 $ nie ma samoprzecięć.
\end{center}

Przypuśćmy, wbrew stwierdzeniu (2), że na przykład odcinki $ O_1O_2 $ i $ O_3O_4 $ przecinają się w punkcie $ P $ (różnym od $ O_i $, $ i = 1,2,3,4 $). Wówczas

\[<br />
\begin{split}<br />
|O_2O_3| + |O_4O_1| & < (|O_2P| + |PO_3|)+ (|O_4P| + |PO_1|) =\\<br />
& = (|O_1P| + |PO_2|)+ (|O_3P| + |PO_4|) = |O_1O_2|+ |O_3O_4|.<br />
\end{split}<br />
\]

To jednak nie jest możliwe, bowiem z równości (1) wynika, że zarówno suma $ |O_2O_3|+ |O_4O_1| $, jak i suma $ |O_1O_2|+ |O_3O_4| $, ma wartość $ r_1 + r_2 + r_3 + r_4 $. Otrzymana sprzeczność dowodzi słuszności stwierdzenia (2).

Wobec tego łamana $ O_1O_2O_3O_4O_1 $ jest brzegiem czworokąta. Może on być wypukły lub wklęsły; rysunki 8 i 9 ilustrują te dwie sytuacje.

W dalszym ciągu przyjmujemy następującą umowę: dla dowolnej trójki różnych punktów $ X $, $ Y $, $ Z $ symbol $ |\measuredangle XYZ| $ bęclzie stale oznaczał miarę kąta {\it wypukłego} o ramionach $ YX^\to $, $ YZ^\to $ (a więc wartość z przedziału $ \langle 0^\circ; 180^\circ \rangle) $).

Oznaczmy miary kątów {\it wewnętrznych} czworokąta $ O_1O_2O_3O_4 $ przez

\[<br />
|\measuredangle O_1|, \quad<br />
|\measuredangle O_2|, \quad<br />
|\measuredangle O_3|, \quad<br />
|\measuredangle O_4|.<br />
\]

Gdy czworokąt jest wypukły, wówczas oczywiście

\[<br />
(3) \qquad<br />
\begin{split}<br />
& |\measuredangle O_1| = |\measuredangle O_4O_1O_2|, \quad<br />
|\measuredangle O_2| = |\measuredangle O_1O_2O_3|, \\<br />
& |\measuredangle O_3| = |\measuredangle O_2O_3O_4|, \quad<br />
|\measuredangle O_4| = |\measuredangle O_3O_4O_1|.<br />
\end{split}<br />
\]

(Przypadek ten obejmuje również sytuację, gdy pewne trzy wierzchołki są współliniowe i czworokąt degeneruje się do trójkąta.)
om43_2r_img_9.jpg
Jeśli natomiast $ O_1O_2O_3O_4 $ jest czworokątem wklęsłym, wówczas jeden z jego kątów wewnętrznych ma miarę większą od $ 180^\circ $. Niech na przykład $ |\measuredangle O_4|> 180^\circ $. Układ równości (3) należy wówczas zastąpić, przez

\[<br />
(4) \qquad<br />
\begin{split}<br />
& |\measuredangle O_1| = |\measuredangle O_4O_1O_2|, \quad<br />
  |\measuredangle O_2| = |\measuredangle O_1O_2O_3|, \\<br />
& |\measuredangle O_3| = |\measuredangle O_2O_3O_4|, \quad<br />
  |\measuredangle O_4| = 360^\circ - |\measuredangle O_3O_4O_1|.<br />
\end{split}<br />
\]

Trójkąty $ DO_1A $ i $ A0_2B $ są równoramienne. Zatem

\[<br />
|\measuredangle O_1 AD| = \frac{1}{2} (180^\circ-|\measuredangle DO_1A|),<br />
\quad<br />
|\measuredangle O_2 AB| = \frac{1}{2} (180^\circ-|\measuredangle AO_2B|).<br />
\]

Gdy czworokąt $ O_1O_2O_3O_4 $ jest wypukły, możemy powyższe związki przepisać w postaci

\[<br />
|\measuredangle O_1 AD| = 90^\circ-\frac{1}{2}|\measuredangle O_1|),<br />
\quad<br />
|\measuredangle O_2 AB| = 90^\circ-\frac{1}{2}|\measuredangle O_2|).<br />
\]

a stąd

\[<br />
(5) \qquad<br />
\begin{split}<br />
| \measuredangle DAB| & - 180^\circ - ( |\measuredangle O_1AD | + |\measuredangle O_2AB | )=\\<br />
& = \frac{1}{2} (|\measuredangle O_1 | + |\measuredangle O_2|).<br />
\end{split}<br />
\]

Analogicznie - korzystając z tego, że również trójkąty $ BO_3C $ i $ CO_4D $ są równoramienne - stwierdzamy, że

\[<br />
(6) \qquad |\measuredangle ABC | = \frac{1}{2}  (|\measuredangle O_2| + |\measuredangle O_3|),<br />
\]
\[<br />
(7) \qquad |\measuredangle BCD | = \frac{1}{2}  (|\measuredangle O_3| + |\measuredangle O_4|),<br />
\]
\[<br />
(8) \qquad |\measuredangle CDA | = \frac{1}{2}  (|\measuredangle O_4| + |\measuredangle O_1|).<br />
\]

Rozważmy teraz sytuację, gdy czworokąt $ O_1O_2O_3O_4 $ jest wklęsły i na przykład kąt wewnętrzny przy wierzchołku $ O_4 $ jest wklęsły, tak, że zachodzą związki (4). Wyprowadzenie wzoru (5) pozostaje w mocy; podobnie jest ze wzorem (6). Dalej,

\[<br />
|\measuredangle O_3CB| = \frac{1}{2} (180^\circ - |\measuredangle BO_3C|) = 90^\circ - \frac{1}{2} |\measuredangle O_3|,<br />
\]

natomiast

\[<br />
\begin{split}<br />
|\measuredangle O_4CD| & = \frac{1}{2} (180^\circ - |\measuredangle CO_4D|) = \\<br />
& = 90^\circ - \frac{1}{2} (360^\circ - |\measuredangle O_4|) =\frac{1}{2} |\measuredangle O_4|- 90^\circ,<br />
\end{split}<br />
\]

wobec czego

\[<br />
\begin{split}<br />
|\measuredangle BCD| & = |\measuredangle BCO_4| + |\measuredangle O_4CD| = (180^\circ - |\measuredangle O_3CB|) + |\measuredangle O_4CD| = \\<br />
& = (90^\circ + \frac{1}{2} |\measuredangle O_3| + (\frac{1}{2} |\measuredangle O_4|- 90^\circ) = \frac{1}{2}(|\measuredangle O_3| + |\measuredangle O_4|).<br />
\end{split}<br />
\]

Tak więc równość (7) zachodzi także i w tym przypadku. Podobnie dowodzimy wzoru (8).

Z równości (5), (6), (7), (8) (słusznych w każdym przypadku) wynika, że

\[<br />
\begin{split}<br />
|\measuredangle ABC| + |\measuredangle CDA| & = \frac{1}{2} ( |\measuredangle O_1| + |\measuredangle O_2| + |\measuredangle O_3| + |\measuredangle O_4|) =\\<br />
& = |\measuredangle BCD| + |\measuredangle DAB|.<br />
\end{split}<br />
\]

A zatem na czworokącie $ ABCD $ można opisać okrąg. Oznaczmy ten okrąg przez $ k_0 $.

Poprowadźmy z punktu $ S $ prostą styczną do $ k_0 $ w punkcie $ G $ (rysunek 10). Na mocy twierdzenia o odcinkach siecznej i stycznej, zastosowanego do okręgów $ k_2 $, $ k_0 $, $ k_4 $, mamy równości:

\[<br />
|SE|^2 = |SA| \cdot |SB| = |SG|^2 = |SC| \cdot |SD| = |SF|^2.<br />
\]

Stąd, ostatecznie, $ |SE| = |SF| $.
om43_2r_img_10.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź