XLIII OM - II - Zadanie 5

Wyznaczyć kres górny obiętości kul zawartych w czworościanach o wszystkich wysokościach nie dłuższych niż $ 1 $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że kula o środku $ Q $ i promieniu $ r $ jest zawarta w czworościanie o wszystkich wysokościach nie dłuższych niż $ 1 $. Oznaczmy jego objętość przez $ V $, a pola ścian - przez $ S_1 $, $ S_2 $, $ S_3 $, $ S_4 $; ustalmy numerację tak, by $ S_1 \leq S_2 \leq S_3 \leq S_4 $.

Wysokość czworościanu, prostopadła do $ i $-tej ściany, ma długość $ 3V/S_i $ (na mocy wzoru: objętość ostrosłupa równa się $ 1/3 $ iloczynu pola podstawy przez wysokość). Zgodnie z przyjętym warunkiem, długości te nie przekraczają $ 1 $. W szczególności $ 3V/S_1 \leq 1 $.

Zauważmy, że $ V $ jest sumą objętości czterech czworościanów, których podstawami są ściany danego czworościanu, a wspólnym wierzchołkiem - punkt $ Q $ (czyli środek rozważanej kuli). Wysokość każdego z tych czterech czworościanów, poprowadzona z punktu $ Q $, ma długość co najmniej $ r $.

Wnosimy stąd, że

\[<br />
V \geq \frac{1}{3}S_1r + \frac{1}{3}S_2r + \frac{1}{3}S_3r + \frac{1}{3}S_4r \geq \frac{4}{3}S_1r.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
r \leq \frac{3V}{4S_1} \leq \frac{1}{4}.<br />
\]

Gdy czworościan jest foremny, a kula jest weń wpisana, wszystkie napisane powyżej nierówności stają się równościami. Stąd wniosek, że kres górny możliwych wartości $ r $ wynosi $ 1/4 $. Kula o promieniu $ 1/4 $ ma objętość $ \pi/48 $, i ta liczba jest kresem górnym objętości wszystkich rozpatrywanych kul.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź