XLIII OM - II - Zadanie 6

Ciągi $ (x_n) $ i $ (y_n) $ są określone następująco:

\[<br />
x_{n+1} = \frac{x_n+2}{x_n+1},\quad y_{n+1}=\frac{y_n^2+2}{2y_n} \quad \text{ dla } n=0,1,2,\ldots.<br />
\]

Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej $ n\geq 0 $ zachodzi równość $ y_n = x_{2^n-1} $.

Rozwiązanie

Zajmiemy się ciągami $ (a_n) $, $ (b_n) $ o wyrazach

\[<br />
a_n = \frac{x_n-\sqrt{2}}{x_n+\sqrt{2}}, \quad b_{n} = \frac{y_n-\sqrt{2}}{y_n+\sqrt{2}} \quad \textrm{dla} \quad n=0,1,2,\ldots.<br />
\]

Wspólną wartość $ a_0 $ i $ b_0 $ oznaczmy przez $ \lambda $:

\[<br />
\lambda = \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = a_0=b_0.<br />
\]

Z podanych w zadaniu rekurencyjnych określeń ciągów $ (x_n) $ i $ (y_n) $ wyprowadzamy analogiczne wzory dla ciągów $ (a_n) $ i $ (b_n) $:

\[<br />
\begin{split}<br />
a_{n+1} &<br />
= \frac{x_{n+1} - \sqrt{2}}{ x_{n+1} + \sqrt{2}}<br />
= \frac{\displaystyle \frac{x_n + 2}{x_n+1}-\sqrt{2} }{\displaystyle \frac{x_n+2}{x_n+1} + \sqrt{2} }<br />
= \frac{x_n + 2 -\sqrt{2}x_n -\sqrt{2}}{x_n+2+\sqrt{2}x_n+\sqrt{2}}= \\<br />
& = \frac{x_{n} - \sqrt{2}}{ x_{n} + \sqrt{2}} \cdot<br />
\frac{1 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \lambda a_n,\\<br />
b_{n+1} &<br />
= \frac{y_{n+1} - \sqrt{2}}{ y_{n+1} + \sqrt{2}}<br />
= \frac{\displaystyle \frac{y_n^2 + 2}{2y_n}-\sqrt{2} }{\displaystyle \frac{y_n^2+2}{2y_n} + \sqrt{2} }<br />
= \frac{y_n^2 + 2 -2\sqrt{2}y_n}{y_n^2+2+2\sqrt{2}y_n}= \\<br />
& = \left( \frac{y_{n} - \sqrt{2}}{ y_{n} + \sqrt{2}} \right)^2 =<br />
b_n^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Stąd, przez oczywistą indukcję,

\[<br />
a_n = \lambda^{n+1}, \quad b_n= \lambda^{2^n} \quad \textrm{dla} \quad n=0,1,2,\ldots.<br />
\]

Zastępując w pierwszym z tych wzorów $ n $ przez $ 2^n - 1 $ otrzymujemy związek

\[<br />
a_{2^n-1} = \lambda^{(2^n-1)+1} = \lambda^{2^n} = b_n,<br />
\]

czyli - zgodnie z określeniem $ a_n $ i $ b_n $ -

\[<br />
\frac{x_{2^n-1}-\sqrt{2}}{x_{2^n-1} + \sqrt{2}}=\frac{y_n-\sqrt{2}}{y_n+\sqrt{2}}.<br />
\]

Przepisujemy tę równość w postaci

\[<br />
1 - \frac{2\sqrt{2}}{x_{2^n-1}+\sqrt{2}} = 1 - \frac{2\sqrt{2}}{y_n + \sqrt{2}}<br />
\]

i uzyskujemy żądany związek

\[<br />
x_{2^n-1} = y_n \quad \textrm{dla} \quad n=0,1,2,\ldots.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź