XLIII OM - III - Zadanie 1

Odcinki $ AC $ i $ BD $ przecinają się w punkcie $ P $, przy czym $ |PA|=|PD| $, $ |PB|=|PC| $. Niech $ O $ będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ PAB $. Dowieść, że proste $ OP $ i $ CD $ są prostopadłe.

Rozwiązanie

om43_3r_img_11.jpg
Niech prosta $ l $ będzie dwusieczną kątów $ APD $ i $ BPC $, a prosta $ m $ niech będzie dwusieczną kątów $ APB $ i $ CPD $. Proste $ l $ oraz $ m $ są prostopadłe. Z danych w założeniach równości odcinków wynika, że trójkąt $ PCD $ jest obrazem trójkąta $ PBA $ w symetrii osiowej względem prostej $ l $. Oznaczmy przez $ Q $ punkt przecięcia prostej $ m $ z okręgiem opisanym na trójkącie $ PAB $ (różny od $ P $). Prosta $ m $ jest dwusieczną kąta $ APB $, więc kąty wpisane $ BPQ $ i $ APQ $ są równe (przystające). W takim razie także i odpowiednie kąty środkowe $ BOQ $ i $ AOQ  $są równe. Zatem prosta $ OQ $ jest osią symetrii trójkąta równoramiennego $ AOB $; jest więc prostopadła do cięciwy $ AB $.

Osią symetrii trójkąta równoramiennego $ POQ $ jest prosta $ l' $, prostopadła do $ m $, więc równoległa do $ l $. Odcinek $ OP $ jest symetryczny do $ OQ $ względem prostej $ l' $; odcinek $ CD $ jest symetryczny do $ AB $ względem prostej $ l $. Ze związków: $ l || l' $ i $ OQ \bot AB $ wynika więc, że $ OP\bot CD $ - czyli teza zadania. (Rysunek 11 przedstawia sytuację, gdy trójkąt $ PAB $ jest ostrokątny, czyli gdy punkt $ O $ leży w jego wnętrzu; rozumowanie nie wymaga jednak żadnych zmian, gdy któryś z kątów trójkąta $ PAB $ jest rozwarty.)

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź