XLIII OM - III - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f $ określone na zbiorze liczb wymiernych dodatnich, o wartościach w tym samym zbiorze, spełniające dla wszystkich dodatnich liczb wymiernych warunki

\[<br />
f(x+1) = f(x)+1 \quad \text{ oraz }\quad f(x^3) = (f(x))^3.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że funkcja $ f $ spełnia podane warunki. Wykażemy, że dla każdej liczby wymiernej $ u>0 $ oraz każdej liczby naturalnej $ k $ zachodzi równość (1)

\[<br />
f(u + k) = f(u) + k.<br />
\]

Traktujemy $ u $ jako ustalone. Dla $ k=1 $ równość (1) zachodzi na mocy pierwszego z warunków danych w założeniach. Przyjmijmy słuszność (1) dla pewnego $ k $ naturalnego. Wówczas, w myśl tego samego warunku,

\[<br />
\begin{split}<br />
f(u + (k+1)) & =f((u+k)+1) = f(u+k) + 1 =\\<br />
& = (f(u)+k)+1 = f(u)+(k + 1).<br />
\end{split}<br />
\]

Równość (1) zachodzi więc po zastąpieniu $ k $ przez $ k + 1 $. Na mocy zasady indukcji uzyskujemy słuszność (1) dla wszystkich $ k $ naturalnych.

Weźmy dowolną dodatnią liczbę wymierną $ x = m/n $ ($ m $, $ n $ naturalne). Przyjmując w (1) $ u=x $, $ k = n^2 $ mamy

\[<br />
f(x + n^2) = f(x) + n^2,<br />
\]

i po podniesieniu stronami do trzeciej potęgi:

\[<br />
(2) \qquad (f(x+n^2))^3 = (f(x) + n^2)^3.<br />
\]

Skorzystajmy teraz z drugiego warunku danego w założeniach, zastępując $ x $ przez sumę $ x + n^2 $:

\[<br />
f((x + n^2)^3) = (f(x + n^2))^3.<br />
\]

Tak więc lewa strona (2) równa się $ (f(x + n^2)^3) $, czyli

\[<br />
(3) \qquad f(x^3+3n^2x^2+3n^4x + n^6).<br />
\]

Zauważmy, że $ 3n^2x^2 + 3n^4x + n^6 = 3m^2 + 3mn^3 + n^6 $ jest liczbą naturalną. Przyjmując w (1) tę właśnie liczbę jako $ k $ oraz biorąc $ u = x^3 $ stwierdzamy, że wartość (3) jest równa

\[<br />
(4) \qquad f(x^3) + 3n^2x^2 + 3n^4x + n^6;<br />
\]

jak pamiętamy, jest to lewa strona równości (2).

Prawa strona (2) równa się

\[<br />
\begin{split}<br />
(5) \qquad (f(x) + n^2)^3 & = (f(x))^3 + 3n^2 (f(x))^2 + 3n^4 f(x) + n^6 =\\<br />
& = f(x^3)+3n^2(f(x))^2+3n^4f(x) + n^6<br />
\end{split}<br />
\]

(bo $ f(x^3) = (f(x))^3 $). Stąd, przez przyrównanie otrzymanych wyrażeń (4) oraz (5), dostajemy równość

\[<br />
3n^2 (f(x))^2 + 3n^4 f(x) + n^6 = 3n^2 x^2 + 3n^4x + n^6,<br />
\]

czyli

\[<br />
(f(x))^2 + n^2f(x) = x^2 + n^2x,<br />
\]

czyli

\[<br />
(f(x)-x)(f(x) + x) + n^2f(x)-n^2x = 0,<br />
\]

czyli jeszcze inaczej

\[<br />
(f(x)-x)(f(x) + x + n^2) = 0.<br />
\]

Suma w drugim nawiasie jest dodatnia. Stąd $ f(x) = x $.

Liczba $ x $ (wymierna, dodatnia) była wybrana dowolnie. A wobec tego $ f $ musi być funkcją identycznościową:

\[<br />
(6) \qquad f(x) = x \quad \textrm{dla wszystkich} \ x \ \textrm{wymiernych, dodatnich.}<br />
\]

Sprawdzenie, że funkcja (6) spełnia podane w zadaniu warunki, jest natychmiastowe. Jest więc ona jedynym rozwiązaniem zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź