XLIII OM - III - Zadanie 3

Udowodnić że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a_1, a_2, \ldots , a_r $ zachodzi nierówność

\[<br />
\sum_{n=1}^r\left(\sum_{m=1}^r \frac{a_ma_n}{m+n}\right) \geq 0.<br />
\]

Rozstrzygnąć, dla jakich liczb $ a_1, a_2, \ldots , a_r $ nierówność ta staje się równością.

Rozwiązanie

Oznaczmy badane wyrażenie przez $ F_r(a_1 ,\ldots,a_r) $:

\[<br />
(1) \qquad F_r(a_1 ,\ldots,a_r) = \sum_{n=1}^r \left( \sum_{m=1}^r \frac{a_m a_n}{m+n} \right).<br />
\]

Gdy $ r=1 $, mamy do czynienia z jedną liczbą rzeczywistą $ a_1 $; suma ,,wewnętrzna'' redukuje się do pojedynczego składnika; suma ,,zewnętrzna''
też, i mamy po prostu $ F_1(a_1) = a_1^2/2 $. Nierówność $ F_1(a_1) \geq 0 $ jest oczywista; staje się ona równością tylko dla $ a_1 = 0 $.

Stąd przypuszczenie: dana do udowodnienia nierówność

\[<br />
F_r(a_1 ,\ldots,a_r) \geq 0<br />
\]

powinna zachodzić dla każdej liczby naturalnej $ r \geq 1 $ i dla każdego układu liczb rzeczywistych $ (a_1,\ldots,a_r) $, przechodząc w równość tylko wtedy, gdy $ a_1=\ldots= a_r = 0 $.

Równość

\[<br />
F_r(0, \ldots, 0) = 0<br />
\]

nie budzi wątpliwości. Pozostaje do udowodnienia nierówność ostra

\[<br />
(2) \qquad  F_r(a_1,\ldots,a_r) > 0<br />
\]

dla każdego układu liczb rzeczywistych $ (a_1,\ldots,a_r) \ne (0,\ldots,0) $.

Dowód poprowadzimy przez indukcję względem $ r $. Przypadek $ r = 1 $ został już rozpatrzony.

Ustalmy liczbę naturalną $ r \geq 2 $ i przyjmijmy, że nierówność analogiczna do (2) zachodzi dla $ r-1 $:

\[<br />
(3) \qquad F_{r-1}(a_1, \ldots, a_{r-1}) > 0<br />
\]

dla każdego układu $ (a_1, \ldots ,a_{r-1}) \ne (0, \ldots ,0) $. Chcemy wykazać słuszność tezy (2) dla każdego układu $ (a_1, \ldots ,a_{r-1}, a_r) \ne (0, \ldots ,0,0) $.

Niech więc będą dane liczby $ a_1, \ldots ,a_{r-1}, a_r $ nie wszystkie równe zeru. Wyodrębnijmy w każdej z sum występujących w określeniu (1) składnik o numerze $ r $:

\[<br />
(4) \qquad  F_r(a_1, \ldots, a_{r-1}, a_r) =<br />
\sum_{n=1}^{r-1}<br />
\left( \sum_{m=1}^{r-1} \frac{a_ma_n}{m+n} + \frac{a_ra_n}{r+n} \right) +<br />
\left( \sum_{m=1}^{r-1} \frac{a_ma_r}{m+r} + \frac{a_r^2}{2r}\right).<br />
\]

Jeśli $ a_1 = \ldots = a_{r-1} =0 $, to z konieczności $ a_r \ne 0 $, a napisane wyrażenie ma postać

\[<br />
F_r(0,\ldots,0,a_r) = \frac{a_r^2}{2r}.<br />
\]

Jest to liczba dodatnia, a więc nierówność (2) jest w tym przypadku spełniona.

Rozważmy teraz przypadek, w którym nie wszystkie liczby $ a_1,\ldots,a_{r-1} $ są zerami. Spójrzmy na wyrażenie (4) jak na funkcję zmiennej $ a_r $, którą teraz oznaczymy przez $ x $; to znaczy, przyjmijmy

\[<br />
T(x) = F_r(a_1, \ldots, a_{r-1}, x) = Ax^2 + Bx + C,<br />
\]

gdzie współczynniki $ A $, $ B $, $ C $ są dane (zgodnie z równością (4)) wzorami

\[<br />
\begin{split}<br />
A & = \frac{1}{2r},\\<br />
B & = \sum_{n=1}^{r-1} \frac{a_n}{r+n} + \sum_{m=1}^{r-1} \frac{a_m}{m+r}  = 2 \sum_{k=1}^{r-1} \frac{a_k}{r+k},\\<br />
C & = \sum_{n=1}^{r-1} \left( \sum_{m=1}^{r-1} \frac{a_ma_n}{m+n}  \right).<br />
\end{split}<br />
\]

Wyrażenie $ T(x) $ jest trójmianem kwadratowym. Obliczymy jego wyróżnik $ \Delta = B^2-4AC $:

\[<br />
\begin{split}<br />
B^2 & = 4 \left( \sum_{k=1}^{r-1} \frac{a_k}{r+k} \right)^2 =<br />
4 \left( \sum_{n=1}^{r-1} \frac{a_n}{r+n} \right)<br />
  \left( \sum_{m=1}^{r-1} \frac{a_m}{m+r} \right)=\\<br />
& = 4 \sum_{n=1}^{r-1} \left( \sum_{m=1}^{r-1} \frac{a_ma_n}{(m+r)(r+n)} \right);<br />
\end{split}<br />
\]

stąd

\[<br />
(5) \qquad<br />
\begin{split}<br />
\frac{\Delta}{4} & = \frac{1}{4} B^2 - AC = \\<br />
& = \sum_{n=1}^{r-1} \left( \sum_{m=1}^{r-1} \frac{a_ma_n}{(m+r)(r+n)} \right) -<br />
\frac{1}{2r} \sum_{n=1}^{r-1} \left( \sum_{m=1}^{r-1} \frac{a_ma_n}{m+n}  \right)=\\<br />
& = \sum_{n=1}^{r-1} \left( \sum_{m=1}^{r-1} \ c_{mn}a_ma_n \right),<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź