XLIII OM - III - Zadanie 5

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest $ 2n $-kąt foremny $ A_1, A_2, \ldots, A_n $. Sfera przechodząca przez wierzchołek $ S $, ostrosłupa pezecina krawędzie boczne $ SA_i $ w punktach $ B_i $ ($ i = 1,2,\ldots, 2n $). Udowodnić, że

\[<br />
\sum_{i=1}^n |SB_{2i-1}| = \sum_{i=1}^n |SB_{2i}|.<br />
\]

Rozwiązanie

om43_3r_img_12.jpg
Przyjmijmy oznaczenia:

\[<br />
|SA_i| = l, \quad     |SB_i| = x_i \quad (i=1,2,\ldots,2n)<br />
\]

(rysunek 12). W zadaniu zakłada się milcząco, że $ B_i $ jest punktem przecięcia danej sfery z krawędzią $ SA_i $, różnym od $ S $. Zatem $ x_i > 0 $.

Oznaczmy środek sfery przez $ O $. Zachodzą równości między wektorami:

\[<br />
\begin{split}<br />
(1) \qquad & \overrightarrow{SB_i} = \frac{x_i}{l} \cdot \overrightarrow{SA_i},\\<br />
(2) \qquad & \overrightarrow{OB_i} =  \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{SB_i}.<br />
\end{split}<br />
\]

Podnosimy (2) stronami do kwadratu (w sensie iloczynu skalarnego, oznaczanego tu grubą kropką):

\[<br />
\begin{split}<br />
\overrightarrow{OB_i} \bullet \overrightarrow{OB_i} & =<br />
(\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{SB_i}) \bullet<br />
(\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{SB_i}) = \\<br />
& = \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{OS} +2 \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SB_i} + \overrightarrow{SB_i} \bullet \overrightarrow{SB_i},<br />
\end{split}<br />
\]

czyli

\[<br />
(3) \qquad<br />
\begin{split}<br />
|OB_i|^2 & =<br />
|OS|^2 + 2 \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SB_i} +<br />
|SB_i|^2 = \\<br />
& = |OS|^2 + 2 \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SB_i} + x_i^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Ponieważ punkty $ S $ oraz $ B_i $ leżą na sferze o środku $ O $, zatem $ |OB_i| = |OS| $, co pozwala nam przepisać równość (3) jako

\[<br />
x_i^2 = -2 \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SB_i}.<br />
\]

Stąd, uwzględniając (1), mamy

\[<br />
x_i^2 = -\frac{2x_i}{l} \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SA_i},<br />
\]

i po podzieleniu stronami przez $ x_i $:

\[<br />
(4) \qquad x_i = - \frac{2}{l} \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SA_i}.<br />
\]

Niech $ Q $ będzie środkiem okręgu opisanego na wielokącie $ A_1A_2 \ldots A_{2n} $. Zauważmy, że wielokąty $ A_1A_3\ldots A_{2n-1} $ i $ A_2A_4\ldots A_{2n} $ są foremne. Zatem

\[<br />
\sum_{i=1}^n \overrightarrow{QA_{2i-1}} = \overrightarrow{\mathbf{0}}, \quad<br />
\sum_{i=1}^n \overrightarrow{QA_{2i}} = \overrightarrow{\mathbf{0}}.<br />
\]

W takim razie

\[<br />
\sum_{i=1}^n \overrightarrow{SA_{2i-1}} = \sum_{i=1}^n (\overrightarrow{SQ} + \overrightarrow{QA_{2i-1}} = n \cdot \overrightarrow{SQ},<br />
\]
\[<br />
\sum_{i=1}^n \overrightarrow{SA_{2i}} = \sum_{i=1}^n (\overrightarrow{SQ} + \overrightarrow{QA_{2i}} = n \cdot \overrightarrow{SQ}.<br />
\]

Stąd i z (4):

\[<br />
(5) \qquad \sum_{i=1}^n x_{2i-1} = -\frac{2}{l} \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \sum_{i=1}^n \overrightarrow{SA_{2i-1}} = \frac{2n}{l} \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SQ},<br />
\]
\[<br />
(6) \qquad \sum_{i=1}^n x_{2i} = -\frac{2}{l} \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \sum_{i=1}^n \overrightarrow{SA_{2i}} = -\frac{2n}{l} \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SQ}.<br />
\]

Sumy (5) i (6) okazały się być równe tej samej liczbie. Równość tych sum jest właśnie tezą zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź