XLIII OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ k $ liczba $ (k!)^{k^2+k+1} $ jest dzielnikiem liczby $ (k^3)! $.

Rozwiązanie

Dla każdej pary liczb naturalnych $ n,l \geq 1 $ zachodzi równość

\[<br />
(1) \qquad {{ln}\choose{n}} = \frac{(ln)!}{n!(n-ln)!} =<br />
\frac{(ln)(ln-1)!}{n(n-1)!(n-ln)!} = l {{ln-1}\choose{n-1}} .<br />
\]

Ustalmy liczby naturalne $ n,m \geq 1 $. Podstawmy w (1) kolejno $ l = 1,2,\ldots,m $ i wymnóżmy stronami otrzymane równości:

\[<br />
(2) \qquad<br />
\begin{split}<br />
\prod_{l=1}^m {{ln}\choose{n}} & = \prod_{l=1}^m \left( l {{ln-1}\choose{n-1}} \right) = \\<br />
& = \left( \prod_{l=1}^m l \right) \left( \prod_{l=1}^m  {{ln-1}\choose{n-1}}  \right) = (m!) \left( \prod_{l=1}^m {{ln-1}\choose{n-1}} \right).<br />
\end{split}<br />
\]

Przekształcamy lewa stronę równości (2):

\[<br />
\begin{split}<br />
\prod_{l=1}^m  {{ln}\choose{n}} & = {{n}\choose{n}}  {{2n}\choose{n}}  {{3n}\choose{n}}  \ldots {{mn}\choose{n}}  = \\<br />
& = \frac{n!}{n!0!} \cdot \frac{(2n)!}{n!n!} \cdot \frac{(3n)!}{n!(2n)!} \cdot \ldots \frac{(mn)!}{n!((m-1)n)!}<br />
\end{split}<br />
\]

i po redukcji czynników powtarzających się w licznikach i w mianownikach:

\[<br />
(3) \qquad \prod_{l=1}^m {{ln}\choose{n}} = \frac{(mn)!}{(n!)^m}.<br />
\]

Przyrównanie prawych stron wzorów (2) i (3) daje równość

\[<br />
(4) \qquad \frac{(mn)!}{(n!)^mm!} = \prod_{l=1}^m {{ln-1}\choose{n-1}}.<br />
\]

Zatem dla każdej pary liczb naturalnych $ n,m \geq 1 $ iloraz $ ((mn)!)/((n!)^mm!) $ jest liczbą naturalną.

Niech $ k $ będzie zadaną liczbą naturalną. Podstawiając w (4) najpierw $ n=m=k $, a następnie $ n=k $, $ m = k^2 $, dostajemy po prawej stronie liczby naturalne, które oznaczymy odpowiednio przez $ A_1(k) $ i $ A_2(k) $:

\[<br />
\frac{(k^2)!}{(k!)^k \cdot k!} = A_1(k), \quad \frac{(k^3)!}{(k!)^{k^2}(k^2)!} = A_2(k).<br />
\]

Stąd przez pomnożenie stronami:

\[<br />
\frac{(k^3)!}{(k!)^{k^2+k+1}} = A_1(k) A_2(k).<br />
\]

Zatem istotnie liczba $ (k^3)! $ jest podzielna przez $ (k!)^{k^2+k+1} $.

Uwaga: Przyjmijmy w (4): $ n = k $, $ m=k^j $, i oznaczmy otrzymaną wartość wyrażenia (4) przez $ A_j(k) $:

\[<br />
(5) \qquad \frac{(k^{j+1})!}{(k!)^{k^j}(k^j)!} = A_j(k).<br />
\]

Weźmy dowolną liczbę naturalną $ r \geq 1 $ i wymnóżmy stronami równości (5) zastosowane kolejno dla $ j = 1,\ldots,r $. Wynik tej operacji:

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{(k^2)!}{(k!)^{k}(k)!} \cdot \frac{(k^3)!}{(k!)^{k^2}(k^2)!} \cdot \frac{(k^4)!}{(k!)^{k^3}(k^3)!} \cdot & \ldots \cdot \frac{(k^{r+1})!}{(k!)^{k^r}(k^r)!}= \\<br />
& = A_1(k) A_2(k) A_3(k) \ldots A_r(k),<br />
\end{split}<br />
\]

czyli - po redukcji wspólnych czynników licznika i mianownika -

\[<br />
\frac{(k^{r+1})!}{(k!)^{1+k+k^2+\ldots+k^r}}  = A_1(k)A_2(k) \ldots A_r(k).<br />
\]

Uzyskaliśmy wzmocnienie tezy zadania: Liczba $ (k!)^{1+k+k^2 + \ldots+k^r} $ jest dzielnikiem liczby $ (k^{r+1})! $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź