LIX OM - I -Zadanie 3

Ciąg liczb całkowitych $ a_1, a_2, a_3, \dots $ jest określony przez warunki: $ a_1 = 1, a_2 = 2 $,

\[<br />
(1)\qquad a_n =3a_n-1 +5a_{n-2} \quad\text{ dla }n =3,4,5,\dots .<br />
\]

Rozstrzygnąć, czy istnieje taka liczba całkowita $ k \geqslant 2 $, że liczba $ a_k $ jest dzielnikiem
iloczynu $ a_{k+1}a_{k+2} $.

Rozwiązanie

Z danego w treści zadania warunku (1) wynika, że

\[<br />
a_{k+1}a_{k+2} = a_{k+1}(3a_k +5a_{k+1})=3a_ka_{k+1} +5a_{k+1}^2<br />
\]

dla $ k \geqslant 2 $. Wobec tego liczba $ a_k $ jest dzielnikiem iloczynu $ a_{k+1}a_{k+2} $ wtedy i tylko
wtedy, gdy jest dzielnikiem liczby $ 5a_{k+1}^2 $.

Zauważmy, że żaden wyraz ciągu $ a_1, a_2, a_3, \dots $ nie jest liczbą podzielną przez 5. W istocie,
dla każdego wskaźnika $ n\geqslant 3 $ z równości $ a_n-3a_{n-1} =5a_{n-2} $ wynika, że liczby
$ a_n, a_{n-1} $ są obie podzielne przez 5 lub też żadna z nich.

Ponieważ jednak $ a_1 =1, a_2 =2 $ są liczbami niepodzielnymi przez 5, więc przez prostą indukcję otrzymujemy
żądany wniosek. Analogicznie dowodzimy, że dla dowolnego $ n \geqslant 3 $ liczby $ a_n, a_{n-2} $ są obie
podzielne albo obie niepodzielne przez 3, zatem w danym ciągu nie występują liczby podzielne przez 3.

Pozostaje więc zbadać, czy istnieje taka liczba całkowita $ k \geqslant 2 $, że liczba $ a_2 $ jest podzielna przez
$ a_k $. Ponieważ $ a_k \geqslant 2 $, więc oznacza to, że liczby $ a_k $ i $ a_{k+1} $ muszą mieć wspólny dzielnik
pierwszy $ p $. Jak wykazaliśmy wyżej, liczba $ p $ jest różna od 3 i 5. Ponadto istnieje najmniejsza taka liczba
całkowita dodatnia $ m $, że liczby $ a_m $ i $ a_{m+1} $ są podzielne przez $ p $. Mamy oczywiście $ m\geqslant 2 $,
więc zachodzi równość $ 5a_{m-1} = a_{m+1} -3a_m $, z której wnioskujemy, że liczba $ a_{m-1} $ jest podzielna
przez $ p $. To jednak przeczy określeniu liczby $ m $.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że taka liczba $ k $ nie istnieje.

Komentarze

Błąd w rozwiązaniu.

Czy w rozwiązaniu nie ma przypadkiem błędu?
Wydaje mi się, że powinno być:

$ a_{k+1}a_{k+2} = a_{k+1}\left ( 3a_{k+1} + 5a_{k} \right ) = 3a_{k+1}^{2} + 5a_{k+1}a_{k} $

A wtedy rozwiązanie przebiega inaczej.

młodość

oho to było pierwsze zadanie które udało mi się zrobić w moim pierwszym starcie w Olimpiadzie

Dodaj nową odpowiedź