XLII OM - I - Zadanie 1

Na brzegu jeziora w kształcie koła znajdują się cztery przystanie $ K $, $ L $, $ P $, $ Q $. Z przystani $ K $ wypływa kajak kierując się do przystani $ Q $, a z przystani $ L $ wypływa łódka kierując się do przystani $ P $. Wiadomo, że gdyby zachowując swe prędkości kajak popłynął w kierunku przystani $ P $, a łódka w kierunku przystani $ Q $, to doszłoby do zderzenia. Dowieść, że kajak i łódka dobiją do celu w tym samym czasie.

Rozwiązanie

om42_1r_img_1.jpg
Przypuśćmy, że kajak płynie z prędkością $ v_k $, a łódka płynie z prędkością $ v_l $. Oznaczmy przez $ X $ punkt, w którym ,,doszłoby do zderzenia''. Długości odcinków, na które punkt $ X $ dzieli cięciwy $ KP $ i $ LQ $ są związane zależnością $ |KX| \cdot |PX| = |LX| \cdot |QX| $ (rysunek 1).

Z warunków zadania wynika, że stosunek prędkości $ v_k \colon v_l = |KX| \colon |LX| $. Z tych dwóch równości otrzymujemy proporcję $ v_k \colon v_l = |QX| \colon |PX| $.

Kąty wierzchołkowe $ KXQ $ i $ LXP $ są równe. Wobec tego trójkąty $ KXQ $ i $ LXP $ są podobne w skali $ v_k \colon v_l $, a zatem także $ |KQ| \colon |LP| =v_k \colon v_l $, czyli

\[<br />
|KQ| \colon v_k = |LP| \colon v_l.<br />
\]

Lewa strona ostatniej proporcji wyraża czas zużyty przez kajak na przepłynięcie z $ K $ do $ Q $; prawa strona - to czas przepłynięcia łódki z $ L $ do $ P $. Stąd teza.