XLII OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $ x $ spełniające nierówność

\[<br />
2\left| x - |x + |x-1|| \right| > \left x + |x - |x+1|| \right|.<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy lewą i prawą stronę nierówności przez $ L(x) $ i $ P(x) $. Tak więc

\[<br />
L(x) = 2|x-|f(x)||, \quad P(x) = |x + |g(x)||,<br />
\]

gdzie

\[<br />
f(x) = x + |x-1|, \quad g(x) = x-|x + 1|.<br />
\]

Zauważmy, że

\[<br />
f(x) = 1 + (x -1) + |x - 1| \geq 1, \quad g(x) = (x +1) -|x +1| - 1 \leq -1;<br />
\]

funkcja $ f $ przyjmuje tylko wartości dodatnie, a funkcja $ g $ - tylko wartości ujemne. Zatem

\[<br />
L(x) = 2|x-f(x)|, \quad P(x) = |x-g(x)|.<br />
\]

Podstawiając wyrażenia definiujące funkcje $ f $ i $ g $ otrzymujemy wzory

\[<br />
L(x) = 2|x-1|, \quad P(x) = |x + 1|.<br />
\]

Dana w zadaniu nierówność $ L(x) > P(x) $ (wiążąca liczby nieujemne) jest równoważna nierówności kwadratowej $ L(x)^2 > P(x)^2 $, czyli nierówności

\[<br />
3x^2-10x + 3 > 0.<br />
\]

Pierwiastkami uzyskanego trójmianu kwadratowego są liczby $ \frac{1}{3} $ i $ 3 $. Zatem zbiór liczb spełniających rozważaną nierówność jest sumą przedziałów

\[<br />
\left(-\infty; \ \frac{1}{3}\right) \cup (3;\infty).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź