XLII OM - I - Zadanie 3

Liczby rzeczywiste $ a $, $ x $, $ y $, $ z $ spełniają równość

\[<br />
\frac{\cos x + \cos y + \cos z}{\cos(x+y+z)} = \frac{\sin x + \sin y + \sin z}{\sin(x+y+z)} = a<br />
\]

Wykazać, że

\[<br />
\cos(y+z)+\cos(z+x)+\cos(x+y) = a<br />
\]

Rozwiązanie

Piszmy dla wygody $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $ zamiast $ x $, $ y $, $ z $; przyjmijmy $ x_4 = x_1 $ oraz $ w = x_1+x_2+x_3 $. Założenie przybiera postać:

\[<br />
\sum_{j=1}^3 \cos x_j = a \cos w, \quad \sum_{j=1}^3  \sin x_j = a \sin w.<br />
\]

Stąd

\[<br />
\begin{split}<br />
\cos (y+z) + \cos (z+x) +\cos (x+y) & = \sum_{j=1}^3 \cos (x_j + x_{j+1}) = \sum_{j=1}^3 \cos (w-x_j) = \\<br />
& = \sum_{j=1}^3 (\cos w \cos x_j + \sin w \sin x_j) = \\<br />
& (\cos w) \sum_{j=1}^3 \cos x_j + (\sin w) \sum_{j=1}^3 \sin x_j = \\<br />
& = a \cos^2 w + a \sin^2 w = a.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź