XLII OM - I - Zadanie 4

Obliczyć granicę

\[<br />
\lim_{n\to \infty} \sqrt[3n]{\sum_{k=0}^n \binom{3n}{3k}}<br />
\]

Sposób I

Oznaczmy sumę występującą pod pierwiastkiem przez $ a_n $:

\[<br />
a_n = \sum_{k=0}^n \binom{3n}{3k} = 2+ \sum_{k=1}^{n-1} \binom{3n}{3k} \quad \textrm{dla} \ n \geq 2.<br />
\]

Symbole dwumianowe spełniają tożsamość

\[<br />
\binom{m}{j} = \binom{m-1}{j-1} + \binom{m-1}{j} \quad \textrm{dla}\ j=1, \ldots, m-1.<br />
\]

Korzystając dwukrotnie z tej tożsamości uzyskujemy dla $ k = 1,\ldots,n-1 $ nierówność

\[<br />
\begin{split}<br />
\binom{3n}{3k} & = \binom{3n-1}{3k-1} + \binom{3n-1}{3k} = \binom{3n-2}{3k-2} + 2\binom{3n-2}{3k-1} + \binom{3n-2}{3k} > \\<br />
& > \binom{3n-2}{3k-2} + \binom{3n-2}{3k-1} + \binom{3n-2}{3k}.<br />
\end{split}<br />
\]

Stąd

\[<br />
\begin{split}<br />
a_n -2 = \sum_{k=1}^{n-1} \binom{3n}{3k} & > \sum_{k=1}^{n-1} \binom{3n-2}{3k-2} + \binom{3n-2}{3k-1} + \binom{3n-2}{3k} = \\<br />
& = \sum_{j=1}^{3n-3} \binom{3n-2}{j} = \sum_{j=0}^{3n-2} \binom{3n-2}{j} -2 =2^{3n-2} - 2<br />
\end{split}<br />
\]

(skorzystaliśmy z tego, że suma wyrazów $ N $-tego wiersza trójkąta Pascala równa się $ 2^N $). W połączeniu z oczywistą nierównością

\[<br />
a_n < \sum_{j=0}^{3n} \binom{3n}{j} = 2^{3n}<br />
\]

daje to dwustronne oszacowanie

\[<br />
\frac{1}{4} \cdot 2^{3n} < a_n < 2^{3n}.<br />
\]

Wyciągając ze wszystkich trzech członów nierówności pierwiastek stopnia $ 3n $ otrzymujemy związek

\[<br />
2 \cdot \sqrt[3n]{\frac{1}{4}}< a_n < 2.<br />
\]

Gdy $ n $ dąży do nieskończoności, pierwiastek stopnia $ 3n $ z dowolnie ustalonej liczby dodatniej (w tym przypadku $ \frac{1}{4} $) dąży do $ 1 $. Stąd, na mocy twierdzenia o trzech ciągach, wynika odpowiedź na postawione w zadaniu pytanie:

\[<br />
\lim_{n \to \infty} \sqrt[3n]{a_n} = 2.<br />
\]

Sposób II

Suma występująca pod znakiem pierwiastka, oznaczona w poprzednim sposobie rozwiązania przez $ a_n $, daje się dość łatwo ,,zwinąć'': zachodzi mianowicie wzór

\[<br />
(1) \qquad \binom{N}{0}+\binom{N}{3}+\binom{N}{6} + \ldots + \binom{N}{3[N/3]} =<br />
\frac{1}{3} \left( 2^N + 2 \cos \frac{N \pi}{3} \right).<br />
\]

Dowód można znaleźć na przykład w książce: L. Jeśmanowicz, J. Łoś {\it Zbiór zadań z algebry}, cz. I, Warszawa 1959 (Twierdzenia 1.17-1.18); także w miesięczniku {\it Delta}, numer 5 (1990) (zadanie M 563). Zachęcamy Czytelników do samodzielnego udowodnienia wzoru (1), przez indukcję albo przez rachunek na liczbach zespolonych z wykorzystaniem wzoru de Moivre'a.

Przyjmując w (1) $ N= 3n $ dostajemy

\[<br />
a_n = \sum_{k=0}^n \binom{3n}{3k} = \frac{1}{3}(2^{3n} + 2\cos n\pi ) = \frac{1}{3} (2^{3n} + 2(-1)^n).<br />
\]

Wyrażenie w nawiasie jest większe niż $ \frac{1}{2} \cdot 2^{3n} $, a mniejsze niż $ 2 \cdot 2^{3n} $. Stąd

\[<br />
\frac{1}{6} \cdot 2^{3n} < a_n < \frac{2}{3} \cdot 2^{3n}<br />
\]

i po wyciągnięciu pierwiastka:

\[<br />
2 \cdot \sqrt[3n]{\frac{1}{6}} < \sqrt[3n]{a_n} < 2 \cdot \sqrt[3n]{\frac{2}{3}}.<br />
\]

Przejście do granicy (z zastosowaniem twierdzenia o trzech ciągach) i ostateczna konkluzja - jak w sposobie poprzednim.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź