XLII OM - I - Zadanie 5

Dany jest odcinek $ AD $. Znaleźć na nim takie punkty $ B $ i $ C $, by iloczyn długości odcinków $ AB $, $ AC $, $ AD $, $ BC $, $ BD $, $ CD $ był maksymalny.

Rozwiązanie

Rozważamy takie położenia punktów $ B $ i $ C $, przy których

\[<br />
(1) \qquad |AB| \leq |AC| \leq |AD|;<br />
\]

to znaczy, przyjmujemy, że punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ leżą na prostej w takim właśnie porządku (nie tracimy przez to ogólności, bowiem badany w zadaniu iloczyn nie zmienia wartości przy zamianie ról $ B $ i $ C $); słabe nierówności w (1) oznaczają, że dopuszczamy przypadki graniczne, gdy pewne z punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ pokrywają się.

Przyjmijmy długość odcinka $ AD $ za jednostkę: $ |AD| = 1 $. Ponadto oznaczmy:

\[<br />
x = |BC|,\   y = |AB|-|CD|; \quad x \in \langle 0;1 \rangle,\ y \in \langle -1;1 \rangle.<br />
\]

Wówczas $ |AB| + |CD| = 1- x $, skąd

\[<br />
\begin{split}<br />
|AB| = \frac{1}{2} (1-x + y), & \quad |CD| = \frac{1}{2}(1-x-y),\\<br />
|AC| = |AB| + |BC| = \frac{1}{2}(1+x +y), & \quad |BD| = |BC| + |CD| = \frac{1}{2}(1 + x-y).<br />
\end{split}<br />
\]

Rozważany iloczyn długości odcinków wynosi

\[<br />
\begin{split}<br />
(2) \qquad I & = \frac{1}{16}x (1-x + y)(1-x-y)(1 + x + y)(1+x-y) =\\<br />
& = \frac{1}{16} x ((1-x)^2 - y^2) ((1+x)^2 - y^2) \leq \\<br />
& \leq \frac{1}{16} x(1-x)^2(1+x)^2 = \frac{1}{16} x (1-x^2)^2;<br />
\end{split}<br />
\]

ta nierówność staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy $ y = 0 $ - czyli gdy $ |AB| = |CD| $.

Wartość maksymalną wielomianu

\[<br />
f(x) = x(1-x^2)^2 = x^5-2x^3 + x<br />
\]

na przedziale $ \langle 0;\ 1\rangle $ możemy znaleźć przez różniczkowanie:

\[<br />
f'(x) = 5x^4 - 6x^2+1 = 5(x^2-1)\left(x^2-\frac{1}{5}\right)<br />
\left\{<br />
\begin{array}{ccl}<br />
>0 & \textrm{dla} & x \in (0; \frac{1}{5} \sqrt{5}),\\<br />
<0 & \textrm{dla} & x \in (\frac{1}{5} \sqrt{5}; 1);\\<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

widzimy, że $ f $ osiąga maksimum dla $ x = \frac{1}{5} \sqrt{5} $.

[Zamiast różniczkować, można zastosować metodę bardziej elementarną (i przez to bardziej elegancką): skorzystać z nierówności między średnią geometryczną i średnią arytmetyczną piątki liczb. Tymi pięcioma liczbami będą: $ 4x^2 $ oraz czterokrotnie powtórzona liczba $ 1-x^2 $. Otrzymujemy nierówność

\[<br />
\left(4 x^2 (1-x^2)^4\right)^{1/5} \leq \frac{1}{5}\left(4x^2+4(1-x^2)\right),<br />
\]

czyli

\[<br />
4^{1/5} f(x)^{2/5} \leq \frac{4}{5},<br />
\]

przy czym równość uzyskujemy, gdy uśredniane liczby są równe; to znaczy gdy
$ 4x^2 = 1 - x^2 $, czyli dla $ x = \frac{1}{5} \sqrt{5} $.]

Zgodnie z oszacowaniem (2) oraz następującą po nim uwagą, wyrażenie $ I $ osiąga maksimum dla $ x = \frac{1}{5} \sqrt{5} $, $ y = 0 $. Odpowiada to umieszczeniu odcinka $ BC $ długości $ x = \frac{1}{5} \sqrt{5} $ symetrycznie względem środka odcinka $ AD $ - z zachowaniem porządku (1), bądź też z zamianą ról punktów $ B $ i $ C $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź