XLII OM - I - Zadanie 6

Trójkąt $ ABC $ jest równoramienny, $ \measuredangle BAC| = 100^{\circ} $, dwusieczna kąta $ ABC $ przecina bok $ AC $ w punkcie $ D $. Dowieść, że

\[<br />
|AD| + |DB| = |BC|.<br />
\]

om42_1r_img_2.jpg
Trójkąt równoramienny $ FCD $ jest podobny do $ ABC $ (wspólny kąt $ C $), więc $ |\measuredangle CFD| = 100^\circ $. Wobec tego zachodzą równości

\[<br />
\begin{split}<br />
|\measuredangle DEF| = 80^\circ & = |\measuredangle DFE|,\\<br />
|\measuredangle BDF| = |\measuredangle BDE| + |\measuredangle EDF|&  = 60^\circ + 20^\circ = 80^\circ = |\measuredangle BFD|,<br />
\end{split}<br />
\]

z których wynika, że trójkąty $ DEF $ i $ BDF $ są równoramienne:

\[<br />
|DE| = |DF|, \quad     |BD| = |BF|.<br />
\]

A zatem

\[<br />
|BC| = |BF| + |CF| = |BD| + |DE| = |BD| + |AD|.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź