XLII OM - I - Zadanie 7

Dane są liczby rzeczywiste dodatnie $ a $, $ b $. Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych dodatnich $ x $, $ y $ spełniające równanie

\[<br />
\frac{27xy}{(1+2ax)(1+2by)} = \frac{1}{ab} + \frac{x}{a} + \frac{y}{b}<br />
\]

Rozwiązanie

Stosując trzykrotnie nierówność między średnią arytmetyczną trójki liczb oraz średnią geometryczną tych liczb stwierdzamy, że

\[<br />
\begin{split}<br />
1+2ax & = 1 + ax + ax \geq 3 (a^2x^2)^{1/3},\\<br />
1+2by & = 1 + by + by \geq 3 (b^2y^2)^{1/3},<br />
\end{split}<br />
\]

oraz

\[<br />
\frac{1}{ab} + \frac{x}{a} + \frac{y}{b} \geq 3 \left(\frac{xy}{a^2b^2}\right)^{1/3} = \frac{27xy}{9(abxy)^{2/3}}.<br />
\]

Mianownik ostatniego ułamka - to dokładnie iloczyn liczb znajdujących się po prawych stronach dwóch poprzednich równości. Wobec tego

\[<br />
\frac{1}{ab} + \frac{x}{a} + \frac{y}{b} \geq \frac{27xy}{(1+2ax)(1+2by)}<br />
\]

(dla dowolnych liczb dodatnich $ a $, $ b $, $ x $, $ y $). Wszystkie wypisane powyżej nierówności stają się jednocześnie równościami tylko wtedy, gdy $ ax = 1 $, $ by = 1 $ oraz $ 1/ab = x/a = y/b $ - czyli gdy $ x = y = 1/a = 1/b $.

Stąd odpowiedź:

Jeśli dane liczby $ a $, $ b $ są różne, równanie nie ma rozwiązań; jeśli są równe $ (a=b) $, wówczas jedynym rozwiązaniem danego równania jest $ x = y = \frac{1}{a} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź