LIX OM - I -Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych $ x, y, z $ układ równań

\[<br />
\begin{cases}<br />
x^5 =5 y^3 -4z \\<br />
y^5 =5z^3 -4x \\<br />
z^5 =5x^3 -4y<br />
\end{cases}<br />
\]

Rozwiązanie

Jeżeli trójka liczb $ (x,y,z)  $ spełnia dany układ równań, to spełniają go również trójki liczb
$ (y,z,x)  $ i $ (z,x,y)  $. Zatem bez ograniczenia ogólności rozumowania możemy przyjąć, że $ x  $ jest
najmniejszą wśród liczb $ x, y, z  $ (pozostałe rozwiązania otrzymamy przez cykliczne przestawienie zmiennych).

Rozpatrzmy dwa przypadki.

1. $ y \leqslant z  $. Mamy więc $ x \leqslant y \leqslant z $. Funkcja
$ f(t) = t^5 $ jest ściśle rosnąca, zatem z drugiego i trzeciego równania danego układu otrzymujemy

\[<br />
5 z^3 = y^5 +4x \leqslant z^5 +4y =5x^3.<br />
\]

Funkcja $ f(t) = t^3 $ również jest ściśle rosnąca. Wobec tego powyższa nierówność implikuje, że
$ z\leqslant x $. W konsekwencji $ x= y= z $. Stąd wynika, że rozwiązania danego układu równań w tym
przypadku mają postać $ x= y= z= t $, gdzie $ t  $ jest rozwiązaniem równania $ t=5 t^3 -4t $. To równanie jest
równoważne równaniu

\[<br />
0= t^5 -5 t^3 +4t = t(t^4 -5t^2 +4)= t(t^2 -1)(t^2 -4) = t(t-1)(t+1)(t-2)(t+2),<br />
\]

które ma rozwiązania $  t = -2,-1,0,1,2 $. Otrzymujemy więc 5 rozwiązań danego układu równań:
$ x= y= z \in {-2,-1,0,1, 2} $.

2. $ y>z $. W tym przypadku $ x \leqslant z<y $. Rozumując podobnie jak poprzednio uzyskujemy

\[<br />
5 y^3 = x^5 +4z < z^5 +4y =5x^3,<br />
\]

czyli $ y < x $. Zatem $ x \leqslant z < y < x $, co nie może mieć miejsca. Uwalniając się od założenia,
że $ x $ jest najmniejszą wśród liczb $ x, y, z  $, widzimy, że jedynymi rozwiązaniami układu są rozwiązania
otrzymane w przypadku 1.

Odpowiedź: Rozwiązaniami $ (x,y,z)  $ danego układu równań są:

\[<br />
(-2,-2,-2),(-1,-1,-1),(0,0,0),(1,1,1),(2,2,2).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź