XLII OM - I - Zadanie 8

Wyznaczyć największą liczbę naturalną $ n $, dla której istnieje w przestrzeni $ n+1 $ wielościanów $ W_0, W_1, \ldots, W_n $ o następujących własnościach:

(l) $ W_0 $ jest wielościanem wypukłym mającym środek symetrii,

(2) każdy z Wielościanów $ W_i $ ($ i = 1,\ldots, n $) powstaje z $ W_0 $ przez przesunięcie,

(3) każdy z wielościanów $ W_i $ ($ i = 1,\ldots, n $) ma punkt wspólny z $ W_0 $,

(4) wielościany $ W_0, W_1, \ldots, W_n $ mają wnętrza parami rozłączne.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że wielościany $ W_0, W_1, \ldots ,W_n $ spełniają podane warunki. Wielościan $ W_1 $ jest obrazem $ W_0 $ w translacji o pewien wektor $ \overrightarrow{\mathbf{v}} $ (warunek (2)). Oznaczmy przez $ O_0 $ środek symetrii wielościanu $ W_0 $ (warunek (1)); punkt $ O_1 $ będący obrazem $ O_0 $ w translacji o $ \overrightarrow{\mathbf{v}} $ jest środkiem symetrii $ W_1 $. Rysunek 3 ilustruje wariant płaski rozpatrywanego zagadnienia (przedstawienie konfiguracji przestrzennej bardzo by tę ilustrację zaciemniło); wielościany $ W_0 $ i $ W_1 $ zostały przedstawione jako środkowo-symetryczne wielokąty.
om42_1r_img_3.jpg
Na mocy warunku (3) wielościany $ W_0 $ i $ W_1 $ mają punkty wspólne (być może wiele). Niech $ K $ będzie wspólnym punktem $ W_0 $ i $ W_1 $ (dowolnie wybranym). Oznaczmy przez $ L $ obraz punktu $ K $ w symetrii środkowej względem
$ O_1 $; zatem $ L \in W_1 $. Niech $ N $ będzie punktem takim, że $ \overrightarrow{NL}=\overrightarrow{\mathbf{v}} $ i niech $ M $ będzie środkiem odcinka $ NK $ (rysunek 4). Tak więc $ N \in W_0 $. Zgodnie z warunkiem (1), zbiór $ W_0 $ jest wypukły; to znaczy, że wraz z dowolnymi dwoma punktami należącymi do $ W_0 $ cały odcinek łączący te punkty zawiera się w $ W_0 $. Skoro więc $ K \in W_0 $ oraz $ N \in W_0 $, to także $ M \in W_0 $. Odcinek $ MO_1 $ łączy środki odcinków $ KN $ i $ KL $, a wobec tego $ \overrightarrow{MO_1} = \frac{1}{2} \overrightarrow{NL} = \frac{1}{2} \overrightarrow{\mathbf{v}} $, czyli $ M $ jest środkiem odcinka $ O_0O_1 $.

Oznaczmy przez $ U $ obraz wielościanu $ W_0 $ w jednokładności o środku $ O_0 $ i skali 3. Wykażemy, że $ W_1 \subset U $. Weźmy dowolny punkt $ P \in W_1 $: niech
$ Q \in W_0 $ będzie punktem takim, że $ \overrightarrow{QP} =\overrightarrow{\mathbf{v}} $ i niech $ S $ będzie środkiem symetrii równoległoboku $ O_0O_1PQ $. Środkowe $ O_0S $ i $ QM $ trójkąta $ O_0O_1Q $ przecinają
się w punkcie $ G $ takim, że $ \overrightarrow{O_0G} = \frac{2}{3}\overrightarrow{O_0S} = \frac{1}{3}\overrightarrow{O_0P} $ (rysunek 5). To znaczy, że $ P $ jest obrazem punktu $ G $ w rozważanej jednokładności. A skoro $ G $ jest punktem odcinka $ QM $ o końcach w zbiorze (wypukłym) $ W_0 $, zatem $ G \in W_0 $. Wobec tego $ P \in U $ i z dowolności wyboru punktu $ P \in W_1 $ wnosimy, że $ W_1 \subset U $.
om42_1r_img_4.jpg
om42_1r_img_5.jpg
W ten sam sposób dowodzimy, że każdy ze zbiorów $ W_i (i= 1,\ldots,n) $ zawiera się w $ U $. Oczywiście także $ W_0 \subset U $. Tak więc zbiór $ W_0 \cup W_1 \cup \ldots \cup W_n $ jest wielościanem zawartym w $ U $. Na mocy warunków (2) i (4) jego objętość równa się objętości $ W_0 $ pomnożonej przez $ n+ 1 $. Natomiast objętość $ U $ równa się objętości $ W_0 $ pomnożonej przez $ 27 $. Stąd $ n \leq 26 $.

Pozostaje zauważyć, że wartość $ n = 26 $ może być osiągnięta (przykład realizacji: $ 27 $ sześcianów $ W_0, \ldots, W_{26} $ ułożonych, jak w kostce Rubika). Zatem szukana liczba równa się $ 26 $.

Uwaga. Ten sam wynik uzyskujemy zakładając, że $ W_0, \ldots, W_n $ są dowolnymi ograniczonymi, domkniętymi bryłami wypukłymi (niekoniecznie wielościanami), o niepustych wnętrzach, spełniającymi warunki (1)-(4); rozumowanie przenosi się bez żadnych zmian. Co więcej, warunek (4) okazuje się zbędny. Udowodnił to Marcin Kasperski w pracy 27 zbiorów wypukłych bez środka symetrii, nagrodzonej złotym medalem na Konkursie Uczniowskich Prac z Matematyki w 1991 roku; skrót pracy przedstawia Delta w numerze 3 (1992).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź