XLII OM - I - Zadanie 10

Niech $ (a_n) $ będzie dowolnym ciągiem liczb naturalnych spełniającym warunki:

\[<br />
a_1=1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n +2 \text{ dla } n=1,2,3,\ldots.<br />
\]

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n\geq 1 $ iloczyn $ a_na_{n+1} $ równa się pewnemu wyrazowi tego ciągu.

Rozwiązanie

Treść zadania nic nie mówi o wartości drugiego wyrazu ciągu $ (a_n) $. Oznaczmy ją więc przez $ c $; jest to pewna liczba naturalna.

Wypiszmy kilka początkowych wyrazów ciągu $ (a_n) $, korzystając z podanego określenia rekurencyjnego i z warunków początkowych $ a_1 = 1 $, $ a_2 = c $:

\[<br />
\begin{split}<br />
& a_3 = 2a_2 -a_1 + 2 = 2c-1 + 2 = 2c+1,\\<br />
& a_4 = 2a_3 -a_2 + 2 = 2(2c + 1)-c + 2 = 3c + 4,\\<br />
& a_5 = 2a_4 -a_3 + 2 = 2(3c + 4)-(2c+1) + 2 = 4c + 9,\\<br />
& a_6 = 2a_5 -a_4 + 2 = 2(4c + 9)-(3c + 4) + 2 = 5c+16,\\<br />
& a_7 = 2a_6 -a_5 + 2 = 2(5c + 16) - (4c + 9) + 2 = 6c + 25.<br />
\end{split}<br />
\]

Widzimy, że dla $ n=1,2,3,4,5,6,7 $ zachodzi równość

\[<br />
(1) \qquad a_n = (n-1)c + (n-2)^2.<br />
\]

Domyślamy się, że jest to wzór ogólny. Nasze przypuszczenie udowodnimy przez indukcję.

Zakładamy, że wzór (1) jest słuszny dla dwóch kolejnych liczb naturalnych $ n = k $ oraz $ n = k +1 $:

\[<br />
a_k = (k-1)c + (k-2)^2, \quad a_{k+1} = kc + (k -1 )^2.<br />
\]

Zgodnie z określeniem ciągu $ (a_n) $ mamy równość

\[<br />
\begin{split}<br />
a_{k+2} & = 2a_{k+1} - a_k + 2 =\\<br />
& = 2 (kc + (k - 1)^2) - ((k - 1 )c + (k - 2)^2) + 2 =\\<br />
& = (k+1)c + 2(k^2-2k+1)-(k^2-4k + 4) + 2 =\\<br />
& = (k+1)c + k^2,<br />
\end{split}<br />
\]

która pokazuje, że wzór (1) zachodzi także dla $ n=k + 2 $. Na mocy zasady indukcji wynika stąd słuszność tego wzoru dla $ n = 1,2,3,\ldots $.

Niech $ n \geq 1 $ będzie dowolną liczbą naturalną. Mamy dowieść, że dla pewnego naturalnego $ m \geq 1 $ zachodzi równość $ a_na_{n+1} =a_m $, czyli

\[<br />
((n - 1 )c + (n - 2)^2) (nc + (n - 1)^2) = (m - 1 )c + (m - 2)^2.<br />
\]

Przepiszmy tę zależność w postaci

\[<br />
(2) \qquad m^2 + (c-4)m + (4-c)-((n-1)c + (n-2)^2)(nc + (n-1)^2) = 0.<br />
\]

Traktując to jako równanie kwadratowe względem $ m $ znajdujemy pierwiastki:

\[<br />
m_1 = 2 - nc - (n - 1)(n - 2), \quad m_2 = 2 + (n - 1)c + (n - 1)(n - 2).<br />
\]

Drugi z nich równa się $ a_n +n $, zgodnie z wzorem (1); jest to liczba całkowita dodatnia. Zatem dla $ m = a_n + n $ spełniona jest równość (2), a więc i równoważna jej postulowana równość $ a_na_{n+1} = a_m $.

Wykazaliśmy, że iloczyn wyrazów o numerach $ n $ i $ n + 1 $ równa się wyrazowi o numerze $ m = a_n + n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź