XLII OM - II - Zadanie 1

Liczby $ a_i $, $ b_i $, $ c_i $, $ d_i $ spełniają warunki $ 0\leq c_i \leq a_i \leq b_i \leq d_i $ oraz $ a_i+b_i = c_i+d_i $ dla $ i=1,2,\ldots,n $. Udowodnić, że

\[<br />
\prod_{i=1}^n a_i + \prod_{i=1}^n b_i \leq \prod_{i=1}^n c_i + \prod_{i=1}^n d_i<br />
\]

Rozwiązanie

Indukcja. Dla $ n = 1 $ dana do udowodnienia nierówność zachodzi (ze znakiem równości; bowiem $ a_1+b_1 =c_1+d_1 $, zgodnie z założeniem).

Ustalmy liczbę naturalną $ n \geq 1 $ i przyjmijmy słuszność podanego twierdzenia dla tej właśnie liczby $ n $. Mamy wykazać jego słuszność dla $ n + 1 $.

Niech więc dane będą liczby $ a_i $, $ b_i $, $ c_i $, $ d_i $ ($ i = 1,\ldots,n +1 $) spełniające warunki $ 0 \leq c_i \leq a_i \leq b_i \leq d_i $ oraz $ a_i + b_i= c_i + d_i $. Oznaczmy

\[<br />
A = \prod_{i=1}^n a_i, \quad<br />
B = \prod_{i=1}^n b_i, \quad<br />
C = \prod_{i=1}^n c_i, \quad<br />
D = \prod_{i=1}^n d_i.<br />
\]

Z założenia indukcyjnego mamy nierówność $ A + B \leq C + D $, czyli

\[<br />
(1) \qquad A-C \leq D-B;<br />
\]

mamy zaś dowieść, że

\[<br />
(2) \qquad Aa_{n+1} + Bb_{n+1 } \leq Cc_{n+1} + Dd_{n+1}.<br />
\]

Na mocy warunków spełnianych przez liczby $ a_i $, $ b_i $, $ c_i $, $ d_i $ zachodzą następujące równości i nierówności:

\[<br />
\begin{split}<br />
(3) \qquad a_{n+1}-c_{n+1} & =d_{n+1}-b_{n+1},\\<br />
(4) \qquad a_{n+1} & \leq b_{n+1}, \\<br />
(5) \qquad C & \leq D,<br />
\end{split}<br />
\]

przy czym wyrażenia występujące po obu stronach każdej z relacji (1), (3), (4), (5) są nieujemne. Nierówności zgodnie skierowane, wiążące liczby nieujemne, wolno mnożyć stronami. Mnożymy więc stronami (1) przez (4) oraz (3) przez (5):

\[<br />
\begin{split}<br />
(A-C)a_{n+1} & \leq (D-B)b_{n+1},\\<br />
(a_{n+1}- c_{n+1})C & \leq (d_{n+1} - b_{n+1})D.<br />
\end{split}<br />
\]

Otrzymane nierówności dodajemy:

\[<br />
Aa_{n+1} -Cc_{n+1} \leq Dd_{n+1}- Bb_{n+1}.<br />
\]

Uzyskaliśmy tezę indukcyjną (2).

Na mocy zasady indukcji twierdzenie zachodzi dla dowolnej liczby naturalnej $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź