XLII OM - II - Zadanie 2

Na bokach $ BC $, $ CA $, $ AB $ trójkąta $ ABC $ obrano odpowiednio takie punkty $ D $, $ E $, $ F $, że

\[<br />
\frac{|DB|}{|DC|} = \frac{|EC|}{|EA|} = \frac{|FA|}{|FB|}<br />
\]

Dowieść, że jeżeli trójkąt $ DEF $ jest równoboczny, to także trójkąt, $ ABC $ jest równoboczny.

Rozwiązanie

Oznaczmy wspólną wartość podanych stosunków przez $ \lambda $:

\[<br />
(1) \qquad \frac{|DB|}{|DC|} = \frac{|EC|}{|EA|} = \frac{|FA|}{|FB|} = \lambda.<br />
\]

Zakładamy, że trójkąt $ DEF $ jest równoboczny. Przedstawimy dowód foremności trójkąta $ ABC $, zachęcając Czytelnika do znajdowania innych metod rozwiązania (np. przez rachunki na wektorach; na liczbach zespolonych; przez porównywanie różnych kątów; itd.).

Użyjemy pojęcia i własności przekształceń afinicznych (por. np.: J. Bednarczuk, Urok przekształceń afinicznych, Warszawa 1978).

Istnieje przekształcenie afiniczne $ h $ przeprowadzające trójkąt $ ABC $ na pewien trójkąt równoboczny $ A'B'C' $. Przekształcenie afiniczne zachowuje współliniowość punktów oraz stosunek podziału odcinka. Zatem punkty $ D'=h(D) $, $ E'=h(E) $, $ F' = h(F) $ leżą na bokach $ B'C' $, $ C'A' $, $ A'B' $ trójkąta $ A'B'C' $ i dzielą je w tych samych stosunkach, w jakich punkty $ D $, $ E $, $ F $ dzielą boki trójkąta $ ABC $ - czyli w równych stosunkach. Stąd wniosek, że trójkąt $ D'E'F' $ jest równoboczny.

Istnieje w takim razie podobieństwo $ g $ takie, że $ g(D) = D' $, $ g(E)= E' $, $ g(F)=F' $. Obrazy punktów $ D $, $ E $, $ F $ są w obu tych przekształceniach ($ g $ i $ h $) takie same. Ale przekształcenie afiniczne jest wyznaczone jednoznacznie przez swe wartości w dowolnych trzech niewspółliniowych punktach. To znaczy, że rozważane tu przekształcenia $ g $ i $ h $ są tym samym przekształceniem - czyli że $ h $ jest podobieństwem.

Obrazem trójkąta $ ABC $ w przekształceniu $ h $ jest trójkąt równoboczny $ A'B'C' $. Skoro zaś $ h $ jest podobieństwem, zatem i trójkąt $ ABC $ jest równoboczny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź