XLII OM - II - Zadanie 3

Dane są liczby całkowite dodatnie $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, $ e $, $ f $ takie, że $ a+b = c+d = e+f = 101 $. Udowodnić, że liczby $ \frac{ace}{bdf} $ nie można zapisać w postaci ułamka $ \frac{m}{n} $ gdzie $ m $, $ n $ są liczbami całkowitymi dodatnimi o sumie mniejszej od $ 101 $.

Rozwiązanie

Z założenia zadania wynika, że zachodzą kongruencje

\[<br />
a \equiv -b, \quad c \equiv -d, \quad e \equiv -f \pmod{101}.<br />
\]

Mnożymy te trzy związki stronami:

\[<br />
ace \equiv -bdf \pmod{101}.<br />
\]

Przypuśćmy, wbrew tezie, że

\[<br />
\frac{ace}{bdf} = \frac{m}{n},<br />
\]

gdzie $ m $, $ n $ są liczbami całkowitymi dodatnimi takimi, że $ m + n< 101 $. Mamy więc zależność

\[<br />
mbdf = nace \equiv -nbdf \pmod{101},<br />
\]

czyli

\[<br />
(m + n)bdf \equiv 0 \pmod{101}.<br />
\]

To znaczy, że liczba $ 101 $ jest dzielnikiem iloczynu $ (m + n)bdf $. Musi więc, jako liczba pierwsza, dzielić któryś z czynników. Otrzymaliśmy sprzeczność, bo każda z liczb $ b $, $ d $, $ f $, $ m + n $ jest dodatnia oraz mniejsza od $ 101 $. Sprzeczność kończy dowód.

Uwaga 1. W udowodnionym twierdzeniu można oczywiście zastąpić liczbę $ 101 $ dowolną liczbą pierwszą, a zamiast trzech ułamków - rozpatrywać dowolną nieparzystą liczbę ułamków.

Uwaga 2. Użycie języka i własności kongruencji jest w rozwiązaniu wygodne, ale nie jest niezbędne; były one przydatne do uzasadnienia podzielności iloczynu $ (m + n)bdf $ przez $ 101 $.

Konkluzję tę można, nie używając pojęcia kongruencji, uzyskać następująco: w myśl założenia, $ a = p - b $, $ c = p- d $, $ e = p - f $ (rozumowanie prowadzimy od razu dla dowolnej liczby pierwszej $ p $, zgodnie z Uwagą 1). Zatem

\[<br />
ace = (p-b)(p-d)(p-f) = p^3 - (b + d+f)p^2 +(df + fb + bd)p-bdf.<br />
\]

Zakładając, jak poprzednio, że $ mbdf = nace $, mamy

\[<br />
(m + n)bdf = n(ace +bdf) = np(p^2 -(b + d + f)p + (df + fb + bd)).<br />
\]

Prawa strona tej równości jest liczbą podzielną przez $ p $, więc lewa też.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź