XLII OM - III - Zadanie 1

Zbadać, czy istnieją czworościany $ T_1 $ i $ T_2 $ o następujących dwóch własnościach:

(a) objętość czworościanu $ T_1 $ jest większa od objętości czworościanu $ T_2 $;

(b) pole każdej ściany czworościanu $ T_1 $ nie przekracza pola żadnej ściany czworościanu $ T_2 $.

Rozwiązanie

Istnieją takie pary czworościanów. Więcej: dla dowolnego czworościanu $ T_1 $ można zbudować czworościan $ T_2 $ tak, by były spełnione warunki (a) i (b). Oto przykład metody:

Niech $ T_1 $ będzie dowolnym czworościanem: niech $ V_1 $ będzie jego objętością, a $ S_1 $ - polem największej ściany. Weźmy liczbę dodatnią $ a $ spełniającą nierówność $ a^2 > 2S_1 $ oraz dobierzmy do niej liczbę dodatnią $ b $ taką, by zachodziła nierówność $ a^2b< V_1 $. Zbudujmy prostopadłościan $ P $, którego dwiema równoległymi ścianami są kwadraty $ Q $ i $ Q' $ o boku długości $ a $, położone w odległości $ b $ jeden od drugiego. Niech $ T_2 $ będzie czworościanem, którego dwiema rozłącznymi (skośnymi) krawędziami są przekątne kwadratów $ Q $ i $ Q' $. Objętość $ V_2 $ czworościanu $ T_2 $ jest mniejsza niż objętość prostopadłościanu $ P $, równa $ a^2b $. Zatem $ V_2 < V_1 $.

Ścianami czworościanu $ T_2 $ są cztery przystające trójkąty, o równym polu $ S_2 $. Rzut każdego z nich na płaszczyznę kwadratu $ Q $ jest połówką tego kwadratu. A zatem $ S_2 > \frac{1}{2}( $pole$ Q)= \frac{1}{2}a^2 > S_1 $.

Czworościany $ T_1 $ i $ T_2 $ mają więc wymagane własności.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź