XLII OM - III - Zadanie 3

Niech $ N $ będzie dowolną liczbą postaci

\[<br />
N= \sum_{k=1}^{60} \varepsilon_k\cdot k^{k^k},<br />
\]

gdzie każdy ze współczynników $ \varepsilon_1,\ldots, \varepsilon_{60} $ równa się $ 1 $ lub $ -1 $. Udowodnić, że $ N $ nie jest piątą potęgą żadnej liczby naturalnej.

Uwaga: $ k^{k^k} = k^{(k^k)} $.

Rozwiązanie

Zauważmy, że liczba $ 60^{60^{60}} $ jest piątą potęgą pewnej liczby naturalnej $ M $; mianowicie

\[<br />
60^{60^{60}} = M^5, \quad \textrm{gdzie} \ M=60^{12 \cdot 60^{59}}.<br />
\]

Spośród składników sumy określającej liczbę $ N $, największym (co do wartości
bezwzględnej) jest oczywiście ten ostatni ($ 60^{60^{60}} $). Wszystkie pozostałe składniki, wzięte łącznie, z dowolnymi znakami, stanowią tak znikomy ułamek liczby $ M^5 = 60^{60^{60}} $, że ich dodanie lub odjęcie nie pozwoli wyjść poza przedział $ ((M - 1)^5;( M + 1)^5) $; na tym nieprecyzyjnym spostrzeżeniu opiera się całe rozwiązanie.

Oznaczmy:

\[<br />
L = \sum_{k=1}^{59} \varepsilon_k \cdot k^{k^k}.<br />
\]

Oszacujemy wartość bezwzględną tej sumy z góry i z dołu:

\[<br />
(1) \qquad |L| \leq \sum_{k=1}^{59} \varepsilon_k \cdot k^{k^k} < 59 \cdot 59^{59^{59}} = 59^{59^{59}+1} < 60^{59^{59}+1} < 60^{12 \cdot 60^{59}} = M;<br />
\]

jednocześnie

\[<br />
\begin{split}<br />
(2) \qquad |L| \geq 59^{59^{59}} - \sum_{k=1}^{58} k^{k^k} & > 59^{59^{59}} - 58 \cdot 58^{58^{58}} = \\<br />
& = 59^{59^{59}} - 58^{58^{58}+1} > 59^{59^{59}} - 59^{58^{58}+1} > 0;<br />
\end{split}<br />
\]

skorzystaliśmy z banalnych nierówności $ 12 \cdot 60^{59} > 59^{59} + 1 $ i $ 59^{59} > 58^{58} + 1 $.

Ponieważ

\[<br />
N = L + \varepsilon_{60} \cdot 60^{60^{60}} = L + \varepsilon_{60} \cdot M^5,<br />
\]

z oszacowania (1) widać, że liczba $ N $ ma znak taki, jak $ \varepsilon_{60} $. Jeśli więc $ \varepsilon_{60}=- 1 $, to $ N $ jest liczbą ujemną - nie może więc być piątą potęgą żadnej liczby naturalnej.

W dalszym ciągu przyjmujemy, że $ \varepsilon_{60} = +1 $. Zatem $ N = M^5 + L $.

Przypuśćmy, że $ N $ jest piątą potęgą pewnej liczby naturalnej $ K $:

\[<br />
N = K^5.<br />
\]

Liczba $ K $ nie może być równa $ M $; znaczyłoby to bowiem, że $ L = 0 $, wbrew nierówności (2). Wobec tego $ K \geq M +1 $ lub $ K \leq M - 1 $ i w konsekwencji

\[<br />
L = K^5 - M^5 \geq (M +1)^5- M^5 \quad \textrm{lub} \quad L \leq (M - 1)^5 - M^5.<br />
\]

Stąd

\[<br />
\begin{split}<br />
|L| & \geq \min \{(M + 1)^5 - M^5, M^5 - (M - 1)^5\} = M^5 - (M - 1 )^5 =\\<br />
& = 5 M^4 - 10M^3 +10M^2 - 5M +1 > 5M^4 - 10 M^3 > M^4.<br />
\end{split}<br />
\]

To się jednak nie da pogodzić z oszacowaniem (1). Sprzeczność dowodzi niesłuszności przypuszczenia, że $ N = K^5 $ dla pewnego $ K $ naturalnego; dowód jest zakończony.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź