XLII OM - III - Zadanie 4

Na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych rozważamy zbiór $ V $ wszystkich wektorów swobodnych, których obie współrzędne są liczbami całkowitymi. Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f $, określone na zbiorze $ V $, o wartościach rzeczywistych, spełniające warunki:

(a) $ f(v) = 1 $ dla każdego z czterech wektorów $ v\in V $ o długości $ 1 $;

(b) $ f(v+w) = f(v) + f(w) $ dla każdej pary wektorów prostopadłych $ v, w \in  V $.

Uwaga: Wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że funkcja $ f $ spełnia postawione warunki. Korzystając z tych
warunków, wypiszmy wartości $ f(\overrightarrow{\mathbf{v}}) $ dla kilku wektorów o niewielkich współrzędnych całkowitych:

\[<br />
\begin{array}{cccc}<br />
\overrightarrow{\mathbf{v}} & f(\overrightarrow{\mathbf{v}}) & \overrightarrow{\mathbf{v}} & f(\overrightarrow{\mathbf{v}}) \\<br />
{[} 1, 0{]} & 1 & {[} 2, 0{]} = {[} 1,1 {]} + {[}1,-1{]}  & 2 + 2 = 4 \\<br />
{[} 0, 1{]} & 1 & {[} 0, 2{]} = {[} 1,1 {]} + {[}-1,1{]}  & 2 + 2 = 4 \\<br />
{[}-1, 0{]} & 1 & {[}-2, 0{]} = {[}-1,1 {]} + {[}-1,-1{]} & 2 + 2 = 4 \\<br />
{[} 0,-1{]} & 1 & {[} 0,-2{]} = {[}-1,-1{]} + {[} 1,-1{]} & 2 + 2 = 4 \\<br />
{[} 1, 1{]} = {[} 1,0{]} + {[}0,1 {]} &   1 + 1=2  & {[}1,2{]}  = {[}1,0{]} + {[}0,2 {]} &    1+4 = 5 \\<br />
{[}-1, 1{]} = {[}-1,0{]} + {[}0,1{]}  &  1 + 1 = 2 & {[}2,-1{]} = {[}2,0{]} + {[}0,-1{]} &    4+1 = 5 \\<br />
{[}-1,-1{]} = {[}-1,0{]} + {[}0,-1{]} &   1 + 1=2  & {[}3,1{]}  = {[}1,2{]} + {[}2,-1{]} &   5 + 5=10 \\<br />
{[} 1,-1{]} = {[}0,-1{]} + {[}1,0{]}  &  1+1 = 2   & {[}3,0{]}  = {[}3,1{]} - {[}0,1 {]} &   10-1 = 9<br />
\end{array}<br />
\]

(Przy obliczaniu ostatniej ze znalezionych wartości wykorzystaliśmy prostopadłość wektorów $ [3,0] $ i $ [0,1] $ i wynikającą z niej na mocy warunku (b) równość $ f([3,0]) = f([3,1])-f([0,1]) $.)

Widzimy z tej tabelki, że $ f([k,0])=k^2 $ dla $ k = 1,2,3 $. Prowadzi to do przypuszczenia, że dla wszystkich $ k $ naturalnych powinna zachodzić równość $ f([k,0]) = k^2 $, oraz także - przez symetrię - $ f([0,k]) = k^2 $, $ f([-k,0]) = k^2 $, $ f([0,-k]) = k^2 $, a jeśli tak - to

\[<br />
(1) \qquad f([x,y]) = x^2 + y^2 \quad \textrm{dla wszystkich całkowitych} \ x,y,<br />
\]

bowiem wektor $ [x,y] $ jest sumą wektorów prostopadłych $ [x,0] $ i $ [0,y] $.

Udowodnimy teraz słuszność hipotezy (1).

Wektor zerowy $ \overrightarrow{\mathbf{0}} = [0,0] $ jest prostopadły do każdego wektora, więc i do siebie samego. Stąd $ f(\overrightarrow{\mathbf{0}}) =  f(\overrightarrow{\mathbf{0}}+\overrightarrow{\mathbf{0}}) = f(\overrightarrow{\mathbf{0}}) + f(\overrightarrow{\mathbf{0}}) $, czyli $ f(\overrightarrow{\mathbf{0}}) = 0 $. Zatem równość (1) zachodzi dla $ x = y = 0 $.

Wykażemy przez indukcję względem $ n $, że

\[<br />
(2) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{c}<br />
f([x,y]) = x^2 + y^2 \quad \textrm{dla każdego wektora} \ [x,y]\\<br />
\textrm{o współrzędnych całkowitych} \ x,y\ \textrm{takich, że} \ |x| \leq n, |y| \leq n.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Dla $ n = 1 $ jest to prawda; widać to z tabelki.

Przyjmijmy słuszność stwierdzenia (2) dla pewnej liczby naturalnej $ n \geq 1 $. W szczególności mamy więc

\[<br />
f([n,-1]) = f([1,n]) = f([-n,1]) = f([-1,-n]) = n^2 + 1.<br />
\]

Cztery występujące w tych równościach wektory są kolejno parami prostopadłe. Zatem, zgodnie z warunkiem (b),

\[<br />
(3) \qquad<br />
\begin{split}<br />
f([n+1, n-1]) & = f([n,-1]) + f([ 1,n]) =2n^2 + 2,\\<br />
f([1-n, n+1]) & = f([1,n]) + f([-n,1]) =2n^2 + 2,\\<br />
f([-n-1,1-n]) & = f([-n,1]) + f([-1 ,-n]) = 2n^2+2,\\<br />
f([n-1,-n-1]) & = f([-1,-n]) + f([n,-1]) = 2n^2+2.<br />
\end{split}<br />
\]

Jednocześnie mamy równość

\[<br />
f([n + 1,n- 1]) = f([n+ 1,0]) + f([0,n - 1]).<br />
\]

Stąd wobec pierwszego z wzorów (3) oraz założenia indukcyjnego dostajemy:

\[<br />
f([n + 1,0]) = f([n + 1,n-1])-f([0,n-1]) = (2n^2+2)-(n-1)^2 = (n+1)^2.<br />
\]

Podobnie, korzystając z pozostałych trzech wzorów (3), dostajemy równości

\[<br />
\begin{split}<br />
f([0,n+1]) = (n + 1)^2,& \\<br />
f([-n-1,0]) = (n+1)^2, & \\<br />
f([0,-n-1]) = (n+1)^2. &<br />
\end{split}<br />
\]

Wykazaliśmy w ten sposób, że

\[<br />
f([k,0]) = f([0,k]) = k^2<br />
\]

dla dowolnej liczby całkowitej $ k $ o module nie przekraczającym $ n + 1 $. (Dla $ |k| = n+1 $ są to otrzymane przed chwilą wzory; a dla $ |k| \leq n $ jest to konsekwencja założenia indukcyjnego.) Jeśli więc $ [x,y] $ jest dowolnym wektorem o współrzędnych całkowitych, których moduły nie przekraczają $ n+1 $, to

\[<br />
f([x,y]) = f([x,0]) + f([0,y]) = x^2 + y^2.<br />
\]

To dowodzi stwierdzenia (2) z $ n $ zastąpionym przez $ n+1 $.

Na mocy zasady indukcji, (2) zachodzi dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 1 $.

Wobec tego jedyną funkcją spełniającą podane warunki jest funkcja $ f $ określona wzorem (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź