XLII OM - III - Zadanie 5

Nieprzystające okręgi $ k_1 $ i $ k_2 $ leżą jeden na zewnątrz drugiego. Wspólne styczne do tych okręgów przecinają prostą wyznaczoną przez ich środki w punktach $ A $ i $ B $. Niech $ P $ będzie dowolnym punktem okręgu $ k_1 $. Dowieść, że istnieje średnica okręgu $ k_2 $, której jeden koniec leży na prostej $ PA $, a drugi — na prostej $ PB $.

Rozwiązanie

Oznaczmy środki okręgów $ k_1 $ i $ k_2 $ odpowiednio przez $ O_1 $ i $ O_2 $, a ich promienie - przez $ r_1 $ i $ r_2 $. Punkty $ A $ i $ B $ leżą na prostej $ O_1O_2 $, przy czym jest obojętne, która litera oznacza który punkt. Umówmy się, dla ustalenia uwagi, że punkt $ B $ leży na odcinku $ O_1O_2 $, a punkt $ A $ - poza tym odcinkiem.

Weźmy pod uwagę jedną z wspólnych stycznych do okręgów $ k_1 $ i $ k_2 $, przechodzącą przez punkt $ A $ oraz jedną z wspólnych stycznych, przechodzącą przez punkt $ B $. Punkty styczności tej pierwszej prostej z okręgami $ k_1 $ i $ k_2 $ oznaczmy przez $ U_1 $ i $ U_2 $, a tej drugiej - przez $ V_1 $ i $ V_2 $ (rysunek 9 przedstawia sytuację, gdy $ r_1 < r_2 $; ale całe dalsze rozumowanie nie zmienia się, gdy $ r_1 > r_2 $ - proponujemy Czytelnikowi wykonanie odpowiedniego rysunku).
om42_3r_img_9.jpg
Z podobieństwa trójkątów prostokątnych $ AU_1O_1 $ i $ AU_2O_2 $ oraz z podobieństwa trójkątów $ BV_1O_1 $ i $ BV_2O_2 $ wynikają proporcje

\[<br />
\frac{|AO_2|}{|AO_1|} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{|BO_2|}{|BO_1|}.<br />
\]

Niech $ j_A $ będzie jednokładnością o środku $ A $ i stosunku $ r_2/r_1 $; symbolem $ j_B $ oznaczmy jednokładność o środku $ B $ i stosunku $ -r_2/r_1 $. Z uzyskanych przed chwilą proporcji wynika, że

\[<br />
j_A(O_1) = O_2 = j_B(O_1).<br />
\]

Widzimy więc, że obrazom okręgu $ k_1 $ w każdej z tych jednokładności jest okrąg $ k_2 $.

Weźmy pod uwagę punkty

\[<br />
Q = j_A(P), \quad R = j_B(P);<br />
\]

leżą one na okręgu $ k_2 $. Punkt $ R $ jest obrazem punktu $ Q $ w przekształceniu

\[<br />
f = j_B \circ j_A^{-1}.<br />
\]

Przekształcenie $ j_A^{-1} $ (odwrotne do $ j_A $) jest jednokładnością o stosunku $ r_1/r_2 $. Zatem $ f $ jest izometrią, i to izometrią parzystą (jako złożenie dwóch jednokładności).

Okrąg $ k_2 $ przechodzi w przekształceniu $ j_A^{-1} $ na okrąg $ k_1 $: okrąg $ k_1 $ przechodzi w przekształceniu $ j_B $ na okrąg $ k_2 $. Tak więc obrazem okręgu $ k_2 $ w przekształceniu $ f $ jest ten sam okrąg $ k_2 $. Wobec tego $ f $, jako izometria parzysta, jest obrotem o pewien kąt wokół punktu $ O_2 $.

Aby wyznaczyć ten kąt, oznaczmy przez $ C_1 $ i $ D_1 $ punkty przecięcia prostej $ O_1O_2 $ z okręgiem $ k_1 $, a przez $ C_2 $ i $ D_2 $ punkty przecięcia tej prostej z okręgiem $ k_2 $. Ustalmy oznaczenia tak, by rozważane punkty leżały na prostej $ O_1O_2 $ w porządku: $ C_1 $, $ O_1 $, $ D_1 $, $ B $, $ D_2 $, $ O_2 $, $ C_2 $. Wówczas $ j_A(D_1) = C_2 $, $ j_B(D_1) = D_2 $, a więc $ f(C_2) = D_2 $.

Odcinek $ C_2D_2 $ jest średnicą okręgu $ k_2 $; obrót $ f $ przeprowadza jeden jej koniec na drugi. W takim razie $ f $ jest obrotem o $ 180^\circ $.

Wcześniej zauważyliśmy, że $ f $ przeprowadza punkt $ Q $ na $ R $. To znaczy, że także odcinek $ QR $ jest średnicą okręgu $ k_2 $. Punkt $ Q $ leży na prostej $ PA $, a punkt $ R $ na prostej $ PB $. Odcinek $ QR $ jest więc średnicą, której istnienie należało wykazać.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź