XLII OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że dla każdej trójki liczb rzeczywistych $ x,y,z $ takich, że $ x^2+y^2+z^2 = 2 $ spełniona jest nierówność $ x+y+z\leq 2+xyz $ oraz ustalić, kiedy zachodzi równość.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia

\[<br />
u = yz, \  v = zx, \  w = xy, \     s = x + y + z, \  q = xyz.<br />
\]

Z założenia, że $ x^2 + y^2 + z^2 = 2 $, wynikają równości

\[<br />
\begin{split}<br />
x^2 + (y-z)^2 & = 2-2u,\\<br />
y^2 + (z-x)^2 & = 2-2v,\\<br />
z^2 + (x-y)^2 & = 2-2w.<br />
\end{split}<br />
\]

Lewe strony są liczbami nieujemnymi. Stąd $ u,v,w \leq 1 $. Mamy więc nierówność

\[<br />
(1) \qquad (1-u)(1-v)(1-w) \geq 0.<br />
\]

Z przyjętych oznaczeń wynika, że

\[<br />
s^2 = (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2+ 2(yz + zx + xy) = 2 + 2(u + v + w),<br />
\]

czyli

\[<br />
u+v+w = \frac{1}{2}s^2 - 1.<br />
\]

Ponadto

\[<br />
vw+ wu + uv = x^2yz + y^2zx + z^2xy = sq<br />
\]

oraz

\[<br />
uvw = (yz)(zx)(xy) = q^2.<br />
\]

Mamy zaś udowodnić, że

\[<br />
(2) \qquad s-q \leq 2.<br />
\]

Przekształcamy lewą stronę nierówności (1), korzystając ze związków uzyskanych powyżej:

\[<br />
\begin{split}<br />
(1 - u)(1 - v)( 1 - w) & = 1-(u+v + w) + (vw + wu+uv)-uvw =\\<br />
& = 1-(\tfrac{1}{2}s^2-1) + sq - q^2=\\<br />
& = 2-\tfrac{1}{2}(s-q)^2-\tfrac{1}{2}q^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Zgodnie z (1), jest to liczba nieujemna. Zatem

\[<br />
\tfrac{1}{2}(s-q)^2 \leq 2-\tfrac{1}{2} q^2.<br />
\]

Ponieważ zaś

\[<br />
(3) \qquad q^2 \geq 0,<br />
\]

wnosimy stąd, że $ (s-q)^2 \leq 4 $, czyli

\[<br />
|s-q| \leq 2.<br />
\]

Dowodzona nierówność (2) wynika stąd natychmiast.

Aby stała się ona równością, konieczne są znaki równości w szacowaniach (1) i (3). Równość w (3) oznacza, że jedna z liczb $ x $, $ y $, $ z $ jest zerem. Niech na przykład $ z = 0 $. Wtedy $ u = v = 0 $ i równość w (1) oznacza, że $ w= 1 $, czyli $ xy= 1 $. Wreszcie, skoro $ q = 0 $, zatem postulowana równość w (2) przybiera postać $ s = 2 $, czyli $ x+y = 2 $.

Jedynym rozwiązaniem układu równań: $ x+ y = 2 $, $ xy = 1 $ jest $ x = y= 1 $.

Przyjęliśmy przykładowo, że $ z = 0 $. Oczywiście jeśli $ x = 0 $ lub $ y = 0 $, to - odpowiednio - uzyskujemy związek $ y = z = 1 $ lub $ z = x = 1 $ jako konieczny warunek zachodzenia równości w (2).

I na odwrót: jeśli dwie spośród liczb $ x $, $ y $, $ z $ są jedynkami, a jedna zerem, to udowodniona nierówność staje się równością. Jest to więc warunek konieczny i dostateczny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź