LIX OM - I -Zadanie 5

Znaleźć wszystkie takie trójki liczb pierwszych $ (p,q,r) $, że liczby

\[<br />
pq + qr + rp \quad \text{oraz} \quad p^3+q^3+r^3-2pqr<br />
\]

są podzielne przez $ p+ q +r $.

Rozwiązanie

Niech liczby pierwsze $ p, q, r $ spełniają żądane warunki. Liczba

\[<br />
pq +qr +rp = p(p+q +r)-(p^2 -qr)<br />
\]

jest podzielna przez $ p+q+r $. Wobec tego liczby $ p^2-qr $ oraz $ p(p^2-qr)=p^3-pqr $ są również podzielne
przez $ p+q+r $. Analogicznie dowodzimy, że liczby

\[<br />
q^3 -pqr \quad \text{oraz} \quad r^3 -pqr<br />
\]

są podzielne przez $ p + q + r $. Sumując te trzy liczby dostajemy podzielność liczby
$ p^3 + q^3 + r^3 -3pqr $ przez $ p + q + r $. Zatem na mocy warunków zadania liczba $ p+ q +r $ jest dzielnikiem
liczby $ pqr $.

Liczby $ p, q, r $ są pierwsze, więc wszystkimi dodatnimi dzielnikami liczby pqr są:
$ 1, p, q, r, pq, qr, rp, pqr $ (przy czym niektóre z nich mogą być równe). To oznacza, że $ p + q + r $
musi być równe jednemu z tych dzielników. Cztery pierwsze dzielniki są mniejsze od $ p + q + r $. Ponadto
$ pqr >p + q + r $, gdyż ze względu na nierówności $ p,q,r \geqslant 2 $ mamy

\[<br />
pqr \geqslant 4\cdot \max\{p,q,r\} > 3\cdot \max\{p,q,r\}\geqslant p+q +r.<br />
\]

Zatem liczba $ p+q+r $ jest równa $ pq $, $ qr $ lub $ rp $. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że
$ p+q +r = pq $. Liczba $ pq +qr +rp $ jest więc podzielna przez $ pq $. Stąd liczba

\[<br />
pq(p+q +1)-(pq +qr +rp)=(p+ q)(pq -r)=(p+ q)^2<br />
\]

dzieli się przez $ pq $. To oznacza, że liczba $ p + q $ jest podzielna przez liczby pierwsze
$ p $ i $ q $. Musi więc być $ p = q $. Ponadto $ r = pq -p-q = p^2 -2p = p(p-2) $ jest liczbą pierwszą.
Wobec $ p \geqslant 2 $ iloczyn $ p(p - 2) $ może być liczbą pierwszą jedynie wtedy, gdy
$ p-2 = 1 $. Ostatecznie mamy $ p = q =3 $ i $ r =3\cdot 1 = 3 $.

Pozostaje bezpośrednio sprawdzić, że otrzymane liczby spełniają warunki zadania.

Odpowiedź: Jedynym rozwiązaniem są liczby $ (p,q,r) = (3,3,3) $.

Uwaga

W powyższym rozwiązaniu udowodniliśmy, że liczba $ p^3 + q^3 + r^3 -3pqr $ jest podzielna przez
$ p + q + r $. Można tę podzielność również wykazać przy użyciu tożsamości

\[<br />
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz =(x +y +z)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź