XLI OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć w zależności od stałych rzeczywistych $ a $, $ b $ liczbę rzeczywistych pierwiastków równania

\[<br />
\sqrt{(x-a)\cdot|x-b|} = (a-b)^2.<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy lewą stronę równania przez $ f(x) $; ma ona sens liczbowy dla $ x \leq a $. Określona w ten sposób funkcja $ f \colon \langle a;\infty ) \to \mathbb{R} $ dana jest więc wzorem

\[<br />
f(x)=\sqrt{|F(x)|} \quad \textrm{dla} x \geq a,<br />
\]

gdzie

\[<br />
F(x) = (x-a)(x-b).<br />
\]

Rozważymy dwa przypadki.

Przypadek I. Gdy $ a \geq b $, funkcja $ f $ jest ściśle rosnąca oraz ciągła w całej swej dziedzinie, czyli w przedziale $ \langle a; \infty) $. Skoro $ f(a) = 0 $, $ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty $, zatem dla każdej wartości $ c \geq 0 $ równanie $ f(x) = c $ ma dokładnie jedno rozwiązanie (istnienie tego rozwiązania wynika z ciągłości funkcji $ f $, a jedyność - z jej ścisłej monotoniczności). Przyjmując w szczególności $ c = (a - b)^2 $ dostajemy wniosek, że rozważane równanie ma (w tym przypadku) jeden pierwiastek rzeczywisty.

Przypadek II. Gdy $ a < b $, funkcja kwadratowa $ F $ osiąga minimum równe
$ - \frac{1}{4} (b-a)^2 $ w punkcie $ x_0 = \frac{1}{2}(a+b) $; jest malejąca w przedziale $ \langle a;x_0 \rangle $, a rosnąca w $ \langle x_0;\infty) $. Zatem funkcja $ f = \sqrt{|F|} $ osiąga w punkcie $ x_0 $ lokalne maksimum równe $ \frac{1}{2}(b-a) $; jest rosnąca w przedziałach $ \langle a;x_0 \rangle $ i $ \langle b;\infty \rangle $, a malejąca w $ \langle x_0;b \rangle $. Liczba pierwiastków równania $ f(x) = (a- b)^2 $ wynosi więc trzy, dwa lub jeden - w zależności od tego, czy liczba $ (a - b)^2 $ jest mniejsza, równa, czy większa od $ \frac{1}{2}(b-a) $. W rozważanym obecnie przypadku $ (a<b) $ te trzy sytuacje są odpowiednio równoważne temu, że różnica $ b-a $ jest mniejsza, równa bądź większa od $ \frac{1}{2} $.

Biorąc pod uwagę konkluzje rozważań w przypadkach I i II możemy sformułować odpowiedź na postawione w zadaniu pytanie:

Liczba rzeczywistych pierwiastków równania $ f(x) = (a-b)^2 $ wynosi:

\[<br />
\begin{array}{rl}<br />
\textrm{trzy - gdy}  & 0<b-a< \frac{1}{2},\\<br />
\textrm{dwa - gdy}   & b - a= \frac{1}{2},\\<br />
\textrm{jeden - gdy} & b-a> \frac{1}{2} \ \textrm{lub}\  b-a \leq 0.<br />
\end{array}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź