XLI OM - I - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli liczby $ A $, $ B $ są różne od zera, to funkcja

\[<br />
f(x) = A\sin x+B \sin(\sqrt{2}\cdot x)<br />
\]

nie jest okresowa.

Rozwiązanie

Sposób I. Przypuśćmy, wbrew tezie, że funkcja $ f $ jest okresowa i niech $ T $ będzie okresem:

\[<br />
f(x + T) = f(x) = f(x-T) \quad    \textrm{dla wszystkich} \ x \in \mathbb{R}.<br />
\]

Zachodzi więc równość

\[<br />
f(x + T)-f(x-T) = 0 \quad \textrm{dla} \ x \in \mathbb{R},<br />
\]

którą możemy przekształcić następująco, stosując znane tożsamości trygonometryczne:

\[<br />
\begin{split}<br />
& A\sin (x + T)-A\sin (x-T) + B\sin(\sqrt{2} \cdot x + \sqrt{2} \cdot T)-B\sin (\sqrt{2} \cdot x-\sqrt{2} \cdot T) = 0,\\<br />
& (1) \qquad 2A\cos x\sin T+2B \cos(\sqrt{2}\cdot x)\sin(\sqrt{2} \cdot T) = 0 \quad     \textrm{dla} x \in \mathbb{R}.<br />
\end{split}<br />
\]

Podstawiając $ x = 0 $ otrzymujemy stąd równość

\[<br />
(2) \qquad 2A\sin T + 2B\sin(\sqrt{2} \cdot T) = 0;<br />
\]

natomiast podstawiając w (1) $ x = \pi/2 $ dostajemy

\[<br />
2B\cos (\pi/\sqrt{2})\sin (\sqrt{2} \cdot T) = 0.<br />
\]

Czynnik $ cos(\pi/ \sqrt{2}) $ nie jest zerem. Także $ B \ne 0 $, zgodnie z założeniem. Zatem

\[<br />
(3) \qquad \sin (\sqrt{2} \cdot T) = 0.<br />
\]

Z równości (2) i (3) wnosimy (uwzględniając założenie $ A \ne 0 $), że

\[<br />
(4) \qquad \sin T = 0.<br />
\]

Otrzymane równości (3) i (4) nie dadzą się jednak pogodzić: wynikałoby z nich, że zarówno liczba $ T $, jak i $ \sqrt{2} \cdot T $, musi być całkowitą wielokrotnością $ \pi $. To zaś nie jest możliwe, wobec niewymierności liczby $ \sqrt{2} $. Sprzeczność dowodzi, że funkcja $ f $ nie jest okresowa.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź