XLI OM - I - Zadanie 3

Na zewnątrz trójkąta ostrokątnego $ ABC $ zbudowano trójkąty równoboczne $ ABC' $, $ BCA' $, $ CAB' $. Dowieść, że odcinki $ AA' $, $ BB' $, $ CC' $ przecinają się w jednym punkcie i są równej długości.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę obrót płaszczyzny o $ 60^\circ $ wokół punktu $ B $, w takim kierunku, by punkt $ A $ przeszedł na $ C' $, a punkt $ A' $ - na $ C $. Trójkąt $ ABA' $ nałoży się wówczas na trójkąt $ C'BC $. Zatem $ |AA'| = |CC'| $, przy czym proste $ AA' $ i $ CC' $ tworzą kąt $ 60^\circ $. Oznaczmy punkt ich przecięcia przez $ T $. Mamy więc równości kątów:

\[<br />
|\measuredangle ATC'| = |\measuredangle A'TC| = 60^\circ, \quad    |\measuredangle ATC| = 120^\circ<br />
\]

(rysunek 1). Z równości tych wynika, że punkt $ T $ leży na każdym z trzech okręgów opisanych na trójkątach $ ABC' $, $ BCA' $, $ CAB' $. Oczywiście jest to ich jedyny punkt wspólny, bowiem okręgi te przecinają się - poza punktem $ T $ - tylko parami, w trzech różnych punktach $ A $, $ B $, $ C $.

Udowodniliśmy więc, że okręgi opisane na trzech dorysowanych trójkątach równobocznych mają dokładnie jeden punkt wspólny $ T $ (zwany jest on punktem Toricellego trójkąta $ ABC $). Zauważmy, że przy takiej charakteryzacji punktu $ T $ rola każdego z wierzchołków $ A $, $ B $, $ C $ jest taka sama, żaden nie jest wyróżniony. Wykazaliśmy ponadto, że odcinki $ AA' $ i $ CC' $ mają równą długość i przecinają się właśnie w punkcie $ T $.
om41_1r_img_1.jpg
Możemy powtórzyć to samo rozumowanie startując na przykład z pary odcinków $ AA' $, $ BB' $ (jeden z nich nałoży się na drugi przy obrocie o kąt $ 60^\circ $ wokół punktu $ C $). Otrzymamy równość $ |AA'| = |BB'| $ oraz stwierdzimy, że punkt Toricellego $ T $ jest punktem przecięcia także i tej pary odcinków.

Zatem wszystkie trzy odcinki $ AA' $, $ BB' $, $ CC' $ przecinają się w punkcie $ T $ i mają równą długość.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź