XLI OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że krawędzi sześcianu nie da się ponumerować liczbami od 1 do 12 tak, by suma numerów krawędzi wychodzących z każdego wierzchołka była taka sama.

Czy można spełnić ten warunek numerując krawędzie dwunastoma różnymi liczbami ze zbioru $ \{1,2,\ldots,13\} $?

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że istnieje sposób ponumerowania, o jakim mowa w pierwszym zdaniu. Każda krawędź przylega swymi dwoma końcami do dwóch wierzchołków. Podwojona suma numerów wszystkich krawędzi powinna więc być równa $ 8s $, gdzie $ s $ oznacza sumę numerów krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka (wartość wspólna dla wszystkich krawędzi sześcianu). Wynikałaby stąd równość $ 8s = 2(1 + \ldots +12) = 12 \cdot 13 $; sprzeczność, bo $ s $ powinno być liczbą całkowitą.

Jeśli natomiast wolno do numerowania użyć dowolnych dwunastu różnych liczb ze zbioru $ \{1,2,\ldots,13\} $, to uzyskanie równych sum przy wszystkich wierzchołkach jest możliwe, i to wieloma sposobami. Przykład realizacji ukazuje rysunek 3.

om41_1r_img_3.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź