XLI OM - I - Zadanie 6

Niech $ M $ będzie dowolnym punktem czworościanu $ ABCD $. Oznaczmy pola ścian $ BCD $, $ ACD $, $ ABD $, $ ABC $ odpowiednio przez $ S_A $, $ S_B $, $ S_C $, $ S_D $ objętość zaś czworościanu przez $ V $. Udowodnić, że

\[<br />
S_A\cdot |MA| + S_B\cdot |MB| + S_C\cdot |MC| + S_D\cdot|MD| \geq 9V.<br />
\]

Rozwiązanie

Czworościan $ ABCD $ jest sumą czterech czworościanów o rozłącznych wnętrzach: $ MBCD $, $ MACD $, $ MABD $, $ MABC $ (w przypadku, gdy punkt $ M $ leży na brzegu $ ABCD $, niektóre z wymienionych czworościanów mogą degenerować się do trójkątów). Oznaczmy przez $ d_A $, $ d_B $, $ d_C $, $ d_D $ odległości punktu $ M $ od płaszczyzn ścian $ BCD $, $ ACD $, $ ABD $, $ ABC $. Objętości czterech wymienionych czworościanów wynoszą (odpowiednio):

\[<br />
V_A = \frac{1}{3} d_A \cdot S_A,\quad  V_B = \frac{1}{3} d_B \cdot S_B,\quad  V_C = \frac{1}{3} d_C \cdot S_C,\quad  V_D = d_D \cdot S_D.<br />
\]

Objętość czworościanu $ ABCD $ można wyrazić w dowolnej z następujących czterech postaci:

\[<br />
V = \frac{1}{3}h_A \cdot S_A = \frac{1}{3}h_B \cdot S_B = \frac{1}{3}h_C \cdot S_C = \frac{1}{3}h_D \cdot S_D =,<br />
\]

gdzie $ h_A $, $ h_B $, $ h_C $, $ h_D $ są wysokościami czworościanu $ ABCD $ opuszczonymi z odpowiednich wierzchołków. Wobec oczywistych nierówności

\[<br />
h_A \leq d_A + |M_A|,\ h_B \leq d_B + |M_B|,\ h_C \leq d_C + |M_C|,\ h_D \leq d_D + |M_D|<br />
\]

dochodzimy do oszacowań

\[<br />
\begin{array}{ll}<br />
V \leq V_A + \frac{1}{3} S_A \cdot |MA|, & V \leq V_B + \frac{1}{3} S_B-|MB|,\\<br />
V \leq V_C + \frac{1}{3} S_C \cdot |MC|, & V \leq V_D + \frac{1}{3} S_D-|MD|.<br />
\end{array}<br />
\]

Po dodaniu stronami i uwzględnieniu równości $ V_A + V_B + V_C + V_D = V $ otrzymujemy nierówność

\[<br />
4V \leq V + \frac{1}{3} (S_A \cdot |MA| + S_B \cdot |MB| + S_C |MC| + S_D \cdot |MD|),<br />
\]

równoważną nierówności danej do udowodnienia w zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź