XLI OM - I - Zadanie 8

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych $ n $, dla których każda z liczb $ n-1 $, $ n $, $ n+1 $ jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Rozwiązanie

Dla dowolnej liczby naturalnej $ k $ przyjmijmy $ n_k = (2k^2 + 1)^2 $. Dostajemy nieskończony, ściśle rosnący ciąg liczb naturalnych $ n_1,n_2,n_3,\ldots $, z których każda spełnia podany w zadaniu warunek:

\[<br />
\begin{split}<br />
n_k-1 & = (2k^2)^2 + (2k)^2,\\<br />
n_k & = (2k^2 + 1)^2 + 0^2,\\<br />
n_k + 1 = (2k^2 + 1)^2 + 1^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź