XLI OM - I - Zadanie 10

Dla danej liczby naturalnej $ n \geq 1 $ wyznaczyć liczby dodatnie $ x_1,\ldots,x_n $ o sumie równej $ 1 $, dla których iloczyn

\[<br />
x_1^1\cdot x_2^2 \cdot \ldots \cdot x_n^n<br />
\]

osiąga wartość maksymalną.

Rozwiązanie

Niech $ x_1,\ldots,x_n $ będą dowolnymi liczbami dodatnimi o sumie równej $ 1 $. Przepiszmy tę równość, jak następuje:

\[<br />
(1) \qquad x_1 + (\frac{x_2}{2} + \frac{x_2}{2}) + (\frac{x_3}{3}+\frac{x_3}{3} +\frac{x_3}{3}) + \ldots + (\frac{x_n}{n} + \ldots + \frac{x_n}{n})=1.<br />
\]

Po otwarciu nawiasów, lewa strona (1) przybiera postać sumy $ N $ składników, gdzie

\[<br />
N=1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}.<br />
\]

Średnia arytmetyczna tych $ N $ liczb równa się $ 1/N $ i jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej:

\[<br />
1/N \geq \left( x_1 \cdot \frac{x_2}{2} \cdot \frac{x_2}{2}<br />
\cdot \frac{x_3}{3} \cdot \frac{x_3}{3} \cdot \frac{x_3}{3} \cdot<br />
\ldots \cdot \frac{x_n}{n} \cdot \ldots \cdot \frac{x_n}{n} \right)^{1/N} ==<br />
\left( \frac{x_1^2 \cdot x_2^2 \cdot \ldots \cdot x_n^n}{1^1 \cdot 2^2 \cdot \ldots \cdot n^n} \right)^{1/N}.<br />
\]

Stąd

\[<br />
(2) \qquad x_1^1 \cdot x_2^2 \cdot \ldots \cdot x_n^n \leq \frac{1^1 \cdot 2^2 \cdot \ldots \cdot n^n}{N^N}.<br />
\]

Nierówność między średnią arytmetyczną oraz średnią geometryczną ($ N $ liczb) staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy liczby te są równe. Zatem w nierówności (2) znak równości ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z $ N $ składników sumy (1) (bez nawiasów) równa się $ 1/N $ - czyli gdy

\[<br />
x_k = \frac{k}{N} = \frac{2k}{n(n+1)} \quad \textrm{dla} \ k=1, \ldots, n.<br />
\]

Dla tych liczb iloczyn napisany po lewej stronie (2) osiąga swą wartość maksymalną.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź