LIX OM - I -Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie takie wielomiany $ W(x) $ o współczynnikach rzeczywistych, że dla każdej liczby
rzeczywistej $ x $ spełniona jest równość

\[<br />
(1) \qquad	W(x^2)\cdot W (x^3)=(W (x))^5.<br />
\]

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy najpierw, że jedynymi wielomianami stałymi spełniającymi warunki zadania są $ W(x) \equiv 0 $ oraz
$ W(x) \equiv 1 $. Przyjmijmy więc dalej, że wielomian $ W(x) $ nie jest stały.

Jeżeli wielomian $ W(x) $ jest postaci $ W(x)=cx^n $ dla pewnej liczby rzeczywistej $ c \neq 0 $
i liczby całkowitej $ n \geqslant 1 $, to w warunku (1) mamy

\[<br />
W(x^2)\cdot W(x^3)= c^2 x^{5n} =(W(x))^5 = c^5 x^{5n} ,<br />
\]

co implikuje $ c^2=c^5 $ i $ c=1 $. Wobec tego wśród wielomianów rozważanej postaci tylko wielomiany
$ W(x)= x $ dla $ n \geqslant 1 $ spełniają warunki zadania.

Pozostał do rozpatrzenia przypadek, gdy wielomian $ W(x) $ jest sumą co najmniej dwóch niezerowych
jednomianów. W takim razie możemy napisać

\[<br />
W(x)= a_nx^n +a_lx^l +G(x),<br />
\]

gdzie $ n>l \geqslant 0 $, $ a_n \neq 0 $, $ a_l \neq 0 $, a wielomian $ G(x) $ jest wielomianem zerowym albo ma stopień najwyżej $ l -1 $. Zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
W(x^2)\cdot W(x^3)&=(a_nx^{2n} +a_lx^{2l} +G(x^2))(a_nx^{3n} +a_lx^{3l} +G(x^3)) \\<br />
&= a_n^2 x^{5n} + a_la_n x^{3n+2l} + a_la_n x^{2n+3l} + P(x),<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie $ P(x) $ jest wielomianem stopnia co najwyżej $ 2n+3l -1 $, oraz

\[<br />
(W(x))^5 =(a_nx^n +a_lx^l +G(x))^5 = a_n^5x^{5n} +5a_na_lx^{4n+l}+Q(x),<br />
\]

gdzie $ Q(x) $ jest wielomianem stopnia co najwyżej $ 3n +2l $. Liczby $ 2n +3l $ i $ 3n+2l $
są mniejsze od $ 4n+l $. Wobec tego współczynnik przy potędze $ x^{4n+l} $ w wielomianie
$ W(x^2)\cdot W(x^3) $ jest równy zeru, a w wielomianie $ (W(x))^5 $ wynosi on $ 5a_na_l \neq 0 $.
Doszliśmy więc do sprzeczności.

Sposób II

Tak jak w sposobie I rozpatrujemy najpierw przypadek, gdy wielomian $ W(x) $ jest stały.
Otrzymujemy więc rozwiązania $ W(x)\equiv 0 $ i $ W(x)\equiv 1 $,a w dalszej części rozwiązania
przyjmujemy, że wielomian $ W(x) $ nie jest stały.

Podstawiając $ x = 0 $ w zależności (1) otrzymujemy $ (W(0))^2 =(W(0))^5 $. Zatem
$ W(0)=0 $ albo $ W(0) = 1 $.

Przypuśćmy najpierw, że $ W(0) = 1 $. Wielomian $ W(x)-1 $ nie jest stały i jego pierwiastkiem jest liczba $ x=0 $. Wobec tego istnieją taka liczba całkowita dodatnia $ k $ oraz taki wielomian $ G(x) $, że

\[<br />
W(x)=1+x^k \cdot G(x),\quad \text{przy czym } G(0) \neq 0.<br />
\]

Korzystając ze wzoru dwumianowego obliczamy, że

\[<br />
\begin{split}<br />
W (x 2)\cdot W (x 3) &= (1+x^{2k}G(x^2))(1+x^{3k}G(x^3)) = 1+x^{2k}P(x), \\<br />
(W(x))^5 &= (1+x^kG(x))^5 = 1+5x^kG(x)+x^{2k}Q(x),<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie $ P(x), Q(x) $ są pewnymi wielomianami o współczynnikach rzeczywistych. Jeżeli więc równość (1) zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej $ x $, to

\[<br />
(2) \qquad x^{2k}(P(x)-Q(x)) = x^k \cdot G(x)<br />
\]

dla wszystkich $ x $. Jednakże wielomian występujący po lewej stronie równości (2) jest podzielny przez
$ x^{2k} $, a wielomian po prawej stronie zawiera niezerowy współczynnik $ G(0) $ przy potędze $ x^k $.
Otrzymaliśmy więc sprzeczność.

Pozostaje więc do rozpatrzenia przypadek $ W(x) \neq 0 $, $ W(0)=0 $. Wówczas możemy napisać

\[<br />
(3) \qquad	W(x)= x^m \cdot G(x)<br />
\]

dla pewnej liczby całkowitej dodatniej $ m $ i wielomianu $ G(x) $ spełniającego warunek
$ G(0) \neq 0 $. Na mocy (1) i (3) mamy

\[<br />
x^{5m} \cdot G(x^2) \cdot G(x^3)= W (x^2)\cdot W(x^3)=(W(x))^5 = x^{5m} \cdot (G(x))^5 ,<br />
\]

zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi równość

\[<br />
G(x^2) \cdot G(x^3)=(G(x))^5.<br />
\]

Innymi słowy, wielomian $ G(x) $ również spełnia warunki zadania. Ponieważ $ G(0)\neq 0 $, więc
z poprzedniej części rozwiązania wnioskujemy, że $ G(x) \equiv 1 $. Wobec tego $ W(x)= x $.

Pozostaje już tylko zauważyć, że każdy taki wielomian $ W(x) $ spełnia warunki zadania.

Odpowiedź: $ W(x) \equiv 0 $, $ W(x) \equiv 1 $ oraz $ W (x)= x^n $ dla $ n =1,2,3,\dots $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź