XLI OM - I - Zadanie 12

Pięciokąt wypukły ma pole $ S $. Niech $ S_1 $, $ S_2 $ , $ S_3 $, $ S_4 $, $ S_5 $ będą polami pięciu trójkątów odciętych przez przekątne pięciokąta (wierzchołkami każdego z tych trójkątów są trzy kolejne wierzchołki pięciokąta). Udowodnić, że suma pewnych czterech liczb $ S_j $ przekracza $ S $.

Rozwiązanie

om41_1r_img_4.jpg

Niech $ ABCDE $ będzie rozważanym pięciokątem. Ustalmy oznaczenia tak, by trójkąt $ DEA $ miał minimalne pole (spośród pięciu trójkątów odciętych przez przekątne pięciokąta). Oznaczmy przez $ P $ punkt przecięcia przekątnych $ AC $ i $ BD $.

Weźmy pod uwagę trójkąty $ EAB $, $ EAP $, $ EAD $. Mają one wspólny bok $ EA $, pozostałe zaś wierzchołki leżą na jednej prostej, przy czym punkt $ P $ leży między $ B $ i $ D $ (rysunek 4). Wobec tego pole trójkąta $ EAP $ nie przekracza pola większego z trójkątów $ EAB $, $ EAD $. Ponieważ z założenia $ \textrm{pole}(EAD) \leq \textrm{pole}(EAB) $, zatem także

\[<br />
(1) \qquad \textrm{pole}(LAP) \leq \textrm{pole}(LAB).<br />
\]

W podobny sposób (rozważając trójkąty $ DEA $, $ DEP $, $ DEC $) wykazujemy, że

\[<br />
(2) \qquad \textrm{pole}(DEP) \leq \textrm{pole}(CDE).<br />
\]

Odnotujmy ponadto oczywistą nierówność

\[<br />
(3) \qquad \textrm{pole}(PCD) < \textrm{pole}(BCD)<br />
\]

(trójkąt $ PCD $ jest częścią właściwą trójkąta $ BCD $) oraz jeszcze bardziej oczywistą równość

\[<br />
(4) \qquad \textrm{pole}(ABC) = \textrm{pole}(ABC).<br />
\]

Trójkąty, których pola występują po lewych stronach związków (1), (2), (3), (4), nie nakładają się na siebie i wypełnieją cały pięciokąt $ ABCDE $. Zatem dodając te związki stronami otrzymujemy nierówność

\[<br />
S = \textrm{pole}(ABCDE) < \textrm{pole}(EAB)+\textrm{pole}(ABC)+\textrm{pole}(BCD)+\textrm{pole}(CDE).<br />
\]

Jest to teza zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź