XLI OM - II - Zadanie 1

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $ x $, $ y $ spełniające równanie

\[<br />
(xy-l)^2 = (x + l)^2 + (y + l)^2.<br />
\]

Rozwiązanie

Wprowadzamy pomocnicze niewiadome $ u = x + 1 $, $ v = y+1 $ i przekształcamy dane równanie metodą przejść równoważnych:

\[ ((u-1)(v-1)-1)^2 = u^2+v^2; \]
\[ (uv-(u+v))^2 = (u+v)^2-2uv; \]
\[u^2v^2 -2uv(u+v) = -2uv;\]
\[uv(uv-2u-2v+2) = 0;\]
\[uv((u-2)(v-2)-2) = 0;\]
\[uv = 0 \ \textrm{lub} \ (u- 2)(v-2) = 2; \]
\[(x + 1)(y+1) = 0 \ \textrm{lub} \  (x-1)(y-1) = 2; \]
\[ x - 1 \ \textrm{lub} \ y = -1 \ \textrm{lub} \ \{x,y\} = \{2,3\}. \]

Tak więc ogólne rozwiązanie danego równania w liczbach całkowitych tworzą następujące pary $ (x,y) $:

\[<br />
(2,3); \quad     (3,2);  \quad    (z,-1);\quad (-1,z),<br />
\]

gdzie $ z $ może być dowolną liczbą całkowitą.

Komentarze

L vs 1

W równaniu wyjściowym powinny chyba być jedynki zamiast liter L.

Bład w zadaniu

Czy w zadaniu w treści nie powinno być 1 zamiast l ?

Dodaj nową odpowiedź