XLI OM - II - Zadanie 2

W przestrzeni dany jest punkt $ O $ oraz skończony zbiór wektorów $ \overrightarrow{v_1},\ldots,\overrightarrow{v_n} $. Rozważamy zbiór tych punktów $ P $, dla których wektor $ \overrightarrow{OP} $ daje się przedstawić w postaci sumy $ a_1 \overrightarrow{v_1} + \ldots + a_n\overrightarrow{v_n} $ o współczynnikach spełniających nierówności $ 0 \leq a_i \leq 1 $ ($ i = 1, 2, \ldots, n $). Rozstrzygnąć, czy zbiór ten może być czworościanem.

Rozwiązanie

Wykażemy, że punkt $ M $ będący końcem wektora

\[<br />
\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{v_1}+\ldots+\overrightarrow{v_n})<br />
\]

jest środkiem symetrii rozważanego zbioru $ W $.

Przypuśćmy bowiem, że $ P \in W $. Zatem wektor $ \overrightarrow{OP} $ dopuszcza przedstawienie

\[<br />
(1) \qquad \overrightarrow{OP} = a_1 \overrightarrow{v_1} + \ldots + a_n \overrightarrow{v_n}, \quad 0 \leq a_i \leq 1 \ (i=1,\ldots,n).<br />
\]

Niech $ Q $ będzie końcem wektora

\[<br />
(2) \qquad \overrightarrow{OQ} = (1-a_1)\overrightarrow{v_1} + \ldots + (1-a_n)\overrightarrow{v_n}.<br />
\]

Liczby $ 1-a_i $ także zawierają się między $ 0 $ a $ 1 $, zatem $ Q \in W $. Ponadto zachodzi równość

\[<br />
\frac{1}{2} (\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{v_1} + \cdots + \frac{1}{2} \overrightarrow{v_n} = \overrightarrow{OM}m<br />
\]

z której wynika, że punkt $ M $ jest środkiem odcinka $ PQ $. Innymi słowy, $ Q $ jest obrazem $ P $ w symetrii środkowej względem punktu $ M $. (Uwaga: przedstawienie wektora $ \overrightarrow{OP} $ w postaci (1) nie musi być jedyne; zatem i przedstawienie wektora $ \overrightarrow{OQ} $ w postaci (2) może nie być jedyne; z uzyskanej przed chwilą konkluzji wynika wszelako, że sam punkt $ Q $ jest wyznaczony przez $ P $ jednoznacznie.)

Pokazaliśmy, że jeśli $ P $ jest dowolnym punktem zbioru $ W $, to punkt $ Q $ symetryczny do $ P $ względem $ M $ także należy do $ W $. To znaczy, że $ M $ jest środkiem symetrii zbioru $ W $.

Czworościan nie ma środka symetrii. Zatem zbiór $ W $ nie może być czworościanem.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź