XLI OM - II - Zadanie 4

Dla każdej pary liczb naturalnych parzystych $ k $, $ m $ wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $ x $ spełniające równanie

\[<br />
(\sin x)^k + (\cos x)^{-m} = (\cos x)^k + (\sin x)^{-m}.<br />
\]

Rozwiązanie

Gdy $ k = m = 0 $, równanie spełnione jest tożsamościowo.

Pomijając ten trywialny przypadek, tzn. zakładając, że co najmniej jedna z liczb $ k $, $ m $ jest dodatnia, przepiszmy równanie w postaci

\[<br />
(1) \qquad (\sin x)^k-(\sin x)^{-m} = (\cos x)^k - (\cos x)^{-m}<br />
\]

i weźmy pod uwagę funkcję

\[<br />
f(t) = t^k-t^{-m},<br />
\]

określoną dla $ t \ne 0 $. W zbiorze liczb dodatnich funkcja $ f $ jest ściśle rosnąca (bo funkcje $ t \to t^k $, $ t \to -t^{-m} $ są niemalejące, a co najmniej jedna z nich jest ściśle rosnąca). Ponadto $ f $ jest funkcją parzystą (w zbiorze liczb różnych od zera). Zatem równość

\[<br />
f(\sin x) = f(\cos x),<br />
\]

będąca innym zapisem równania (1), jest równoważna alternatywie

\[<br />
(2) \qquad \sin x = \cos x \quad \textrm{lub} \quad \sin x = - \cos x.<br />
\]

Ogólnym rozwiązaniem (2) (więc i (1)) jest zbiór liczb postaci

\[<br />
x = \frac{\pi}{4} + j \cdot \frac{\pi}{2},<br />
\]

gdzie $ j $ może być dowolną liczbą całkowitą.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź