XLI OM - II - Zadanie 5

Danych jest $ n $ liczb naturalnych ($ n\geq 2 $), których suma równa jest ich iloczynowi. Wykazać, że ta wspólna wartość nie przekracza $ 2n $.

Rozwiązanie

Jak zwykle, gdy mowa jest o liczbach naturalnych, pojawia się kwestia umowy, czy zero uważamy za liczbę naturalną. W tym zadaniu nie ma to znaczenia: jeśli choć jedna z rozważanych liczb jest zerem, to ich iloczyn także jest zerem i teza jest oczywista.

Gdyby $ n -1 $ spośród $ n $ danych liczb było jedynkami, warunek dany w założeniu nie mógłby być spełniony. W dalszym ciągu będziemy więc rozważać układ $ n $ liczb całkowitych dodatnich, wśród których co najmniej dwie są większe od $ 1 $.

Oznaczmy dane liczby przez

\[<br />
1 + x_1, 1 + x_2, \ldots ,1 + x_n,<br />
\]

przyjmując, że

\[<br />
x_1 \geq x_2 \geq \ldots \geq x_n \geq 0, \quad x_2 \geq 1.<br />
\]

W myśl założenia zachodzi równość

\[<br />
(1) \qquad \prod_{i=1}^n (i+x_i) = \sum_{i=1}^n (1+x_i).<br />
\]

Oznaczmy wspólną wartość lewej i prawej strony (1) przez $ s $. Mamy dowieść, że $ s \leq 2n $.

Gdy $ n = 2 $, warunek (1) prowadzi do równania $ x_1x_2 = 1 $, czyli $ x_1 = x_2 = 1 $. Wówczas $ s = 4 = 2n $; teza zachodzi.

Dalej zakładamy, że $ n \geq 3 $. Prawa strona (1) równa się

\[<br />
(2) \qquad s = n + \sum_{i=1}^n x_i.<br />
\]

Wymnażając czynniki iloczynu znajdującego się po lewej stronie (1) dostajemy sumę składników następującej postaci:

\[<br />
\begin{split}<br />
(3) \qquad s & = \prod_{i=1}^n (1+x_i) = \\<br />
& = 1 + \sum_{1 \leq i \leq n} x_i + \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j +<br />
\sum_{1 \leq i < j < k \leq n} x_i x_j x_k + \ldots \\<br />
& \ldots + (x_1 x_2 \ldots x_n).<br />
\end{split}<br />
\]

Przez przyrównanie prawych stron (2) i (3) otrzymujemy równość

\[<br />
\begin{split}<br />
(4) \qquad n-1 = \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j +<br />
\sum_{1 \leq i < j < k \leq n} & x_i x_j x_k + \ldots \\<br />
& \ldots + (x_1 x_2\ldots x_n).<br />
\end{split}<br />
\]

Rozważymy teraz dwa przypadki.

Przypadek I. $ x_3 \geq 1 $.

Oszacujemy z dołu prawą stronę równości (4) opuszczając pewne nieujemne składniki:

\[<br />
\begin{split}<br />
n-1 & \geq \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_ix_j+ \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} x_ix_jx_k \geq \\<br />
& \geq x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 + \sum_{3 < i\leq n} x_ix_3 + x_1x_2x_3 = \\<br />
& x_1x_2+ x_3 \left( \sum_{i=1}^3 x_i - x_3 + x_1x_2 \right).<br />
\end{split}<br />
\]

Kontynuujemy szacowanie, wykorzystując nierówności $ x_1x_2 \geq x_3 \geq 1 $ oraz równość (2):

\[<br />
n - 1 \geq x_1x_2 + x_3 \cdot \sum_{i=1}^n x_i = x_1x_2 + x_3(s-n) \geq 1+s-n.<br />
\]

Stąd $ s \leq 2n - 2 $, więc tym bardziej $ s \leq 2n $.

Przypadek II. $ x_3 = 0 $ (czyli $ x_i = 0 $ dla $ i \geq 3 $).

Warunek (4) przybiera postać

\[<br />
(5) \qquad  n-1 = x_1x_2<br />
\]

(wszystkie pozostałe składniki prawej strony (4) są zerami). Stąd, wobec (2):

\[<br />
s = n+x_1+x_2 = n+(x_1x_2-(x_1-1)(x_2-1) + 1) \leq n+x_1x_2 + 1 = 2n.<br />
\]

Teza jest więc udowodniona.

Uwaga. Równość $ s = 2n $ jest możliwa tylko w przypadku II, i to tylko wtedy, gdy $ (x_1 - 1)(x_2 -1) = 0 $, czyli gdy $ x_2 = 1 $ (bo $ x_1 \geq x_2 $). Wówczas, zgodnie z (5), $ x_1 = n-1 $. A zatem równość $ s = 2n $ zachodzi tylko dla $ (x_1,\ldots, x_n) = (n-1,1,0,\ldots,0) $ - czyli tylko wtedy, gdy jedna spośród danych w zadaniu liczb równa się $ n $, jedna równa się $ 2 $, a pozostałe są jedynkami.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź