XLI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x $, $ y $ spełniona jest równość

\[<br />
(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y) = 4xy(x^2-y^2)<br />
\]

Rozwiązanie

Zakładamy, że funkcja $ f $ spełnia podane równanie funkcyjne. Wprowadzamy nowe zmienne:

\[<br />
(1) \qquad u = x + y, \quad    v = x-y.<br />
\]

Równanie przybiera postać

\[<br />
(2) \qquad vf(u)-uf(v) = uv(u^2-v^2).<br />
\]

(Istotnie: $ uv = x^2 - y^2 $; $ u^2 - v^2 = 4xy $.)

Dla każdej pary liczb rzeczywistych $ (u,v) $ istnieje para liczb rzeczywistych $ (x,y) $ spełniająca układ równań (1). Zatem jeśli dane w zadaniu równanie jest (dla danej funkcji $ f $) spełnione przez każdą parę liczb rzeczywistych $ (x,y) $, to równanie (2) jest również spełnione przez każdą parę liczb rzeczywistych $ (u,v) $.

Podstawiając w (2) $ u = 1 $, $ v = 0 $ stwierdzamy, że $ f(0) = 0 $.

Niech teraz $ u $, $ v $ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, różnymi od zera. Dzielimy równanie (2) stronami przez $ uv $:

\[<br />
(3) \qquad \frac{f(u)}{u} - \frac{f(v)}{v} = u^2-v^2.<br />
\]

Weźmy pod uwagę funkcję

\[<br />
(4) \qquad g(f) = \frac{f(t)}{t} - t^2 \quad \textrm{dla} \ t \ne 0.<br />
\]

Otrzymany związek (3) odczytujemy jako równość

\[<br />
g(u) = g(v) \ \textrm{dla dowolnych} \ u,v \ne 0.<br />
\]

Innymi słowy, funkcja $ g $ jest stała na zbiorze $ \mathbb{R}\ {0} $. Oznaczmy jej stałą wartość przez $ c $. Mamy wówczas, zgodnie z (4),

\[<br />
(5) \qquad f(t) = t^3 + ct<br />
\]

dla $ t \ne 0 $. Wcześniej stwierdziliśmy, że $ f(0) = 0 $. Tak więc związek (5) jest aluszny dla wszystkich $ t \in \mathbb{R} $.

Nietrudno sprawdzić, że każda funkcja postaci (5) spełnia tożsamościowe związek (2), a więc także i dane w zadaniu równanie funkcyjne. Zatem wzór (5) określa ogólną postać poszukiwanych funkcji.

Komentarze

łebskie

Karki łebskie, ale trzeba mieć ciekawość na zadanka, że rozwiązać do takiego dojścia samemu.

super

Ciekawe zadanka, ale trzeba mieć łeb na karku, żeby samemu dojść do takiego rozwiązania.

Dodaj nową odpowiedź