XLI OM - III - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną większą od 2, a $ x_1, x_2, \ldots , x_n $ są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to

\[<br />
\frac{x_1^2}{x_1^2+x_2 x_3} + \frac{x_2^2}{x_2^2+x_3 x_4} + \ldots + \frac{x_n^2}{x_n^2+x_1 x_2} \leq n-1.<br />
\]

Rozwiązanie

Przyjmijmy

\[<br />
a_k = \frac{x_k^2}{x_{k+1}x_{k+2}} \ \textrm{dla} \ k=1,2,\ldots,n;<br />
\]

stosujemy numerację cykliczną $ \bmod{n} $; to znaczy, przyjmujemy $ x_{n+1} = x_1 $ $ x_{n+2} = x_2 $. Zauważmy, że

\[<br />
(1) \qquad a_1 a_2 \ldots a_n = 1.<br />
\]

Oznaczmy przez $ X $ wyrażenie po lewej stronie danej do udowodnienia nierówności. Przekształcamy:

\[<br />
\begin{split}<br />
X & = \sum_{k=1}^n \frac{x_k^2}{x_k^2 + x_{k+1}x_{k+2}} = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{a_k+1} = \\<br />
& = \sum_{k=1}^n \left( 1-\frac{1}{a_k+1} \right) = n - \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k+1}.<br />
\end{split}<br />
\]

Aby dowieść, że $ X \leq n- 1 $, wystarczy więc pokazać, że

\[<br />
(2) \qquad \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k+1} \geq 1.<br />
\]

Dysponujemy warunkiem (1). Udowodnimy przez indukcję, że dla dowolnej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ oraz dla dowolnych liczb dodatnich $ a_1,a_2,\ldots,a_n $ spełniających równość (1) zachodzi nierówność (2).

Gdy $ n = 2 $, mamy dwie liczby $ a_1 $ i $ a_2 $, ich iloczyn $ a_1a_2 = 1 $. Lewa strona
(2) równa się

\[<br />
\frac{1}{a_1+1} + \frac{1}{a_2+1} = \frac{a_1+a_2+2}{(a_1+1)(a_2+1)}= \frac{a_1a_2+a_1+a_2+1}{(a_1+1)(a_2+1)} = 1,<br />
\]

więc nierówność (2) zachodzi (i staje się równością).

Ustalmy $ n \geq 2 $ i załóżmy, że dla tej liczby naturalnej $ n $ równość (1) implikuje nierówność (2). Chcemy udowodnić analogiczną implikację dla $ n + 1 $. Niech więc dane będzie $ n+1 $ liczb dodatnich $ a_1,a_2, \ldots, a_n, a_{n+1} $, których iloczyn równa się $ 1 $:

\[<br />
a_1 a_2 \ldots a_n a_{n+1} = 1.<br />
\]

Mamy wykazać, że

\[<br />
(3) \qquad \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{a_k+1} \geq 1.<br />
\]

Spójrzmy na układ $ n $ liczb dodatnich

\[<br />
a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, (a_n a_{n+1}).<br />
\]

Ich iloczyn równa się $ 1 $, a więc na mocy założenia indukcyjnego zachodzi nierówność (2) z wyrazem $ a_n $ zastąpionym przez $ a_n a_{n+1} $:

\[<br />
\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{a_k+1} + \frac{1}{a_n a_{n+1}+1} \geq 1.<br />
\]

Aby stąd uzyskać tezę indukcyjną (3), wystarczy pokazać, że

\[<br />
(4) \qquad \frac{1}{a_n+1} + \frac{1}{a_{n+1}+1} \geq \frac{1}{a_na_{n+1}+1}.<br />
\]

Pisząc $ a $, $ b $ zamiast $ a_n $, $ a_{n+1} $ przekształcamy różnicę między lewą i prawą stroną (4), jak następuje:

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} & =<br />
\frac{(a+b+2)(ab+1) - (a+1)(b+1)}{(a+1)(b+1)(ab+1)} =\\<br />
& = \frac{ab(a+b+1)+1}{(a+1)(b+1)(ab+1)} > 0.<br />
\end{split}<br />
\]

To dowodzi słuszności nierówności (4), a tym samym i (3). Stąd, na mocy zasady indukcji, implikacja (1) $ \Longrightarrow $ (2) zachodzi dla dowolnej liczby naturalnej $ n\geq 2 $.

W myśl uwag poprzedzających (2) kończy to dowód tezy zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź